Докажите тождество (2а-3b) ^3+(2a+3b) ^3=-18a(4a^2+3b^2)

Алгебра 8 класс Тождества и формулы сокращенного умножения алгебра 8 класс тождество доказательство формулы куб суммы куб разности алгебраические выражения упрощение уравнения математические доказательства школьная математика задачи по алгебре Новый

Давайте докажем тождество: (2a - 3b) ^3 + (2a + 3b) ^3 = -18a(4a^2 + 3b^2).

Для начала воспользуемся формулой суммы кубов. Она звучит так:

• x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

В нашем случае x = (2a - 3b) и y = (2a + 3b).

Сложим x и y:

• x + y = (2a - 3b) + (2a + 3b) = 4a.

Теперь найдем x^2, xy и y^2:

• x^2 = (2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2,
• y^2 = (2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2,
• xy = (2a - 3b)(2a + 3b) = 4a^2 - 9b^2 (это формула разности квадратов).

Теперь подставим все эти значения в формулу суммы кубов:

(2a - 3b) ^3 + (2a + 3b) ^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 4a((4a^2 - 12ab + 9b^2) - (4a^2 - 9b^2) + (4a^2 + 12ab + 9b^2)).

Теперь упростим выражение в скобках:

• (4a^2 - 12ab + 9b^2) - (4a^2 - 9b^2) + (4a^2 + 12ab + 9b^2) =
• = 4a^2 - 12ab + 9b^2 - 4a^2 + 9b^2 + 4a^2 + 12ab + 9b^2 =
• = 4a^2 + 27b^2.

Таким образом, мы получаем:

(2a - 3b) ^3 + (2a + 3b) ^3 = 4a(4a^2 + 27b^2).

Теперь нам нужно показать, что это выражение равно -18a(4a^2 + 3b^2). Для этого упростим -18a(4a^2 + 3b^2):

• -18a(4a^2 + 3b^2) = -72a^3 - 54ab^2.

Теперь сравним два полученных выражения. Мы получили:

• 4a(4a^2 + 27b^2) = 16a^3 + 108ab^2.

Как видно, это выражения не равны между собой. Поэтому данное тождество не является верным.

Таким образом, мы пришли к выводу, что тождество (2a - 3b) ^3 + (2a + 3b) ^3 = -18a(4a^2 + 3b^2) не выполняется.