Чтобы определить десятый член арифметической прогрессии, нам нужно воспользоваться формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии и формулой для n-го члена прогрессии.

Шаги решения:

1. Начнем с формулы для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

   Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d),

   где a1 — первый член прогрессии, d — разность прогрессии.

2. Нам дано, что Sn = n^2. Подставим это в формулу:

   n^2 = n/2 * (2a1 + (n-1)d).

3. Упростим уравнение, умножив обе стороны на 2/n:

   2n = 2a1 + (n-1)d.

4. Теперь выразим разность d через a1 и n:

   d = (2n - 2a1)/(n-1).

5. Рассмотрим n = 1, чтобы найти a1:

   Поскольку S1 = 1^2 = 1 и S1 = a1, то a1 = 1.

6. Подставим a1 = 1 в уравнение для d:

   d = (2n - 2*1)/(n-1) = (2n - 2)/(n-1).

7. Теперь найдем десятый член прогрессии a10 с помощью формулы для n-го члена:

   an = a1 + (n-1)d.

8. Подставим n = 10, a1 = 1 и выражение для d:

   a10 = 1 + (10-1)((2*10 - 2)/(10-1)).

9. Упростим выражение:

   • Сначала найдем d для n = 10: d = (20 - 2)/9 = 18/9 = 2.
   • Теперь подставим d в формулу для a10: a10 = 1 + 9*2 = 1 + 18 = 19.

10. Таким образом, десятый член арифметической прогрессии равен 19.