Как можно определить разность арифметической прогрессии, если первый член равен 1 и соблюдается условие Sm:Sn= m^2:n^2, где Sm - это сумма первых m членов, а Sn - сумма первых n членов?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия разность арифметической прогрессии первый член 1 сумма первых m членов сумма первых n членов условие Sm:Sn арифметическая прогрессия алгебра 8 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с определения суммы первых m членов арифметической прогрессии. Сумма первых m членов арифметической прогрессии, где первый член равен a и разность равна d, вычисляется по формуле:

Sm = (m/2) * (2a + (m - 1)d)

В нашем случае первый член a равен 1, поэтому формула для суммы первых m членов будет выглядеть так:

Sm = (m/2) * (2*1 + (m - 1)d) = (m/2) * (2 + (m - 1)d)

Аналогично, сумма первых n членов Sn будет:

Sn = (n/2) * (2 + (n - 1)d)

Теперь у нас есть выражения для Sm и Sn. Теперь воспользуемся условием задачи:

Sm:Sn = m^2:n^2

Это можно записать в виде:

Sm / Sn = m^2 / n^2

Теперь подставим наши выражения для Sm и Sn:

(m/2) * (2 + (m - 1)d) / (n/2) * (2 + (n - 1)d) = m^2 / n^2

Упрощаем это уравнение:

(m * (2 + (m - 1)d)) / (n * (2 + (n - 1)d)) = m^2 / n^2

Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на n * (2 + (n - 1)d) * n^2:

m * (2 + (m - 1)d) * n^2 = m^2 * n * (2 + (n - 1)d)

Теперь раскроем скобки:

m * n^2 * 2 + m * n^2 * (m - 1)d = m^2 * n * 2 + m^2 * n * (n - 1)d

Теперь мы можем сгруппировать все члены, содержащие d, с одной стороны, а остальные - с другой:

m * n^2 * (m - 1)d - m^2 * n * (n - 1)d = m^2 * n * 2 - m * n^2 * 2

Теперь выделим d:

d * (m * n^2 * (m - 1) - m^2 * n * (n - 1)) = 2 * (m^2 * n - m * n^2)

Теперь выразим d:

d = 2 * (m^2 * n - m * n^2) / (m * n^2 * (m - 1) - m^2 * n * (n - 1))

Таким образом, мы получили выражение для разности d арифметической прогрессии, используя данное условие Sm:Sn = m^2:n^2. Это выражение можно упростить в зависимости от значений m и n, если это необходимо.