Давайте решим предложенные задачи по алгебре шаг за шагом.

1. Найдите решения уравнений:

1. а) 8x² - 7x = 0
• Первым шагом вынесем общий множитель x: 8x(x - 7/8) = 0.
• Теперь у нас есть два возможных решения: x = 0 и x - 7/8 = 0, что даёт x = 7/8.
• Таким образом, решения: x = 0 и x = 7/8.
2. б) 9x² = 4
• Переносим 4 на левую сторону: 9x² - 4 = 0.
• Теперь используем формулу разности квадратов: (3x - 2)(3x + 2) = 0.
• Решаем каждое из уравнений: 3x - 2 = 0 даёт x = 2/3, а 3x + 2 = 0 даёт x = -2/3.
• Таким образом, решения: x = 2/3 и x = -2/3.
3. в) 3x² + 4x + 5 = 0
• Для решения этого уравнения используем дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4*3*5 = 16 - 60 = -44.
• Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных решений.

2. Разложите на множители:

1. а) x² + x - 20
• Ищем два числа, произведение которых равно -20, а сумма равна 1. Это числа 5 и -4.
• Таким образом, разложение: (x + 5)(x - 4).
2. б) 2x² + 7x - 4
• Ищем два числа, произведение которых равно 2*(-4) = -8, а сумма равна 7. Это числа 8 и -1.
• Теперь разложим: 2x² + 8x - x - 4 = 2x(x + 4) - 1(x + 4) = (2x - 1)(x + 4).

3. Задача о теплоходе и катере:

Обозначим скорость катера как x км/ч. Тогда скорость теплохода будет x + 4 км/ч.

Время, за которое теплоход проплыл 48 км, можно выразить как:

t(теплохода) = 48 / (x + 4).

Время, за которое катер проплыл то же расстояние, будет:

t(катера) = 48 / x.

Согласно условию задачи, теплоход проплыл на 1 час быстрее, чем катер:

48 / x - 48 / (x + 4) = 1.

Теперь решим это уравнение:

• Умножим обе стороны на x(x + 4): 48(x + 4) - 48x = x(x + 4).
• Упрощаем: 192 = x² + 4x.
• Переносим всё в одну сторону: x² + 4x - 192 = 0.
• Теперь решаем это уравнение, используя дискриминант: D = 4² - 4*1*(-192) = 16 + 768 = 784.
• Находим корни: x = (-4 ± √784) / 2 = (-4 ± 28) / 2.
• Получаем два решения: x = 12 и x = -16 (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте).

Следовательно, скорость катера составляет 12 км/ч, а скорость теплохода - 16 км/ч.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!