Как можно решить уравнение х^3 + 6х^2 - х - 6 = 0?

Алгебра 8 класс Уравнения третьей степени решение уравнения алгебра 8 класс х^3 + 6х^2 - х - 6 методы решения уравнений кубические уравнения алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0 мы можем воспользоваться методом подбора корней и разложением многочлена на множители.

Шаг 1: Поиск рациональных корней.

Сначала попробуем найти корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p - делители свободного члена (в нашем случае -6), а q - делители ведущего коэффициента (в нашем случае 1).

Делители -6: ±1, ±2, ±3, ±6.

Поскольку ведущий коэффициент равен 1, делители будут только ±1, ±2, ±3, ±6.

Шаг 2: Подбор корней.

Теперь подставим эти значения в уравнение:

• Для x = 1: 1^3 + 6(1^2) - 1 - 6 = 1 + 6 - 1 - 6 = 0 (это корень).
• Для x = -1: (-1)^3 + 6(-1)^2 - (-1) - 6 = -1 + 6 + 1 - 6 = 0 (это корень).
• Для x = 2: 2^3 + 6(2^2) - 2 - 6 = 8 + 24 - 2 - 6 = 24 (не корень).
• Для x = -2: (-2)^3 + 6(-2)^2 - (-2) - 6 = -8 + 24 + 2 - 6 = 12 (не корень).
• Для x = 3: 3^3 + 6(3^2) - 3 - 6 = 27 + 54 - 3 - 6 = 72 (не корень).
• Для x = -3: (-3)^3 + 6(-3)^2 - (-3) - 6 = -27 + 54 + 3 - 6 = 24 (не корень).
• Для x = 6: 6^3 + 6(6^2) - 6 - 6 = 216 + 216 - 6 - 6 = 420 (не корень).
• Для x = -6: (-6)^3 + 6(-6)^2 - (-6) - 6 = -216 + 216 + 6 - 6 = 0 (это корень).

Таким образом, мы нашли корни: x = 1 и x = -6.

Шаг 3: Деление многочлена.

Теперь мы можем разделить наш многочлен на (x - 1) и (x + 6), чтобы найти оставшийся многочлен.

Сначала разделим на (x - 1):

При делении x^3 + 6x^2 - x - 6 на x - 1 получаем:

• Результат деления: x^2 + 7x + 6.

Теперь делим x^2 + 7x + 6 на x + 6:

• Результат деления: (x + 1)(x + 6).

Шаг 4: Запись окончательного результата.

Таким образом, мы можем записать уравнение в виде:

(x - 1)(x + 1)(x + 6) = 0

Шаг 5: Находим корни.

Теперь у нас есть три множителя:

• x - 1 = 0 → x = 1,
• x + 1 = 0 → x = -1,
• x + 6 = 0 → x = -6.

Итак, окончательные корни уравнения x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0:

• x = 1,
• x = -1,
• x = -6.