Помогите, пожалуйста, с уравнением

Как решить уравнение y³ - 9y² + 27y - 27 = 0?

Алгебра 8 класс Уравнения третьей степени уравнение решение уравнения алгебра 8 класс y³ - 9y² + 27y - 27 корни уравнения методы решения алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение y³ - 9y² + 27y - 27 = 0, мы можем воспользоваться методом разложения на множители или применить теорему Виета для нахождения корней. Давайте рассмотрим шаги решения этого уравнения.

1. Поиск рациональных корней: Мы можем использовать теорему о рациональных корнях, которая гласит, что если у уравнения есть рациональный корень, то он может быть записан в виде p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители старшего коэффициента. В нашем случае, свободный член -27, а старший коэффициент - 1. Делители -27: ±1, ±3, ±9, ±27.
2. Проверка возможных корней: Мы будем подставлять возможные значения в уравнение и проверять, равно ли оно нулю.
• Подставим y = 1: 1³ - 9*1² + 27*1 - 27 = 1 - 9 + 27 - 27 = -8 (не корень)
• Подставим y = 3: 3³ - 9*3² + 27*3 - 27 = 27 - 81 + 81 - 27 = 0 (корень)
• Подставим y = 9: 9³ - 9*9² + 27*9 - 27 = 729 - 729 + 243 - 27 = 216 (не корень)
• Подставим y = 27: 27³ - 9*27² + 27*27 - 27 = 19683 - 729 + 729 - 27 = 19683 (не корень)
3. Разложение на множители: Мы нашли, что y = 3 является корнем. Теперь мы можем разделить многочлен y³ - 9y² + 27y - 27 на (y - 3) с помощью деления многочленов.
4. Деление многочлена: Выполним деление:
   • y³ ÷ y = y²
   • Умножаем (y - 3) на y²: y³ - 3y²
   • Вычитаем: (y³ - 9y²) - (y³ - 3y²) = -6y²
   • Теперь спускаем 27y: -6y² + 27y
   • -6y² ÷ y = -6y
   • Умножаем: -6y(y - 3) = -6y² + 18y
   • Вычитаем: (-6y² + 27y) - (-6y² + 18y) = 9y
   • Спускаем -27: 9y - 27
   • 9y ÷ y = 9
   • Умножаем: 9(y - 3) = 9y - 27
   • Вычитаем: (9y - 27) - (9y - 27) = 0
5. Получаем разложение: Мы получили y³ - 9y² + 27y - 27 = (y - 3)(y² - 6y + 9).
6. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение y² - 6y + 9 = 0. Оно может быть представлено как (y - 3)² = 0, что дает двойной корень y = 3.

Ответ: У уравнения y³ - 9y² + 27y - 27 = 0 есть один корень y = 3, который является двойным корнем. Таким образом, единственный корень уравнения - это y = 3.