Чтобы решить уравнение x^3 - 27 - 3x(x - 3) = 0, давайте сначала упростим его. Следуем шагам:

1. Раскроем скобки: У нас есть выражение 3x(x - 3). Раскроем его:
• 3x * x = 3x^2
• 3x * (-3) = -9x

Таким образом, 3x(x - 3) = 3x^2 - 9x.

2. Подставим это обратно в уравнение:

Теперь у нас есть:

x^3 - 27 - (3x^2 - 9x) = 0
3. Упростим уравнение: Перепишем его, собрав все члены:

Это будет:

x^3 - 3x^2 + 9x - 27 = 0
4. Теперь попробуем найти корни: Мы можем использовать метод подбора или теорему Виета. Начнем с подбора. Проверим, есть ли у нас простые целые корни.
• Проверим x = 3:

Подставляем x = 3 в уравнение:

3^3 - 3 * 3^2 + 9 * 3 - 27 = 27 - 27 + 27 - 27 = 0

Мы видим, что x = 3 является корнем уравнения.

5. Теперь разделим многочлен на (x - 3): Используем деление многочленов:

При делении x^3 - 3x^2 + 9x - 27 на x - 3 получаем:

x^2 + 0x + 9 (в остатке 0).
6. Теперь решим квадратное уравнение: У нас осталось уравнение:
x^2 + 9 = 0

Решим его:

• Переносим 9 на другую сторону:
x^2 = -9
• Теперь извлекаем корень:
x = ±√(-9) = ±3i (где i - мнимая единица).

Итак, окончательное решение уравнения:

• x = 3 (реальный корень)
• x = 3i (мнимый корень)
• x = -3i (мнимый корень)

Таким образом, у уравнения x^3 - 27 - 3x(x - 3) = 0 есть один реальный корень и два мнимых корня.