Для решения уравнения x³ + 3x² - 4x - 12 = 0 мы можем использовать метод подбора корней и, если это возможно, разложить на множители.

Следуем этим шагам:

1. Подбор возможных целых корней:

   Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни уравнения могут быть делителями свободного члена (в данном случае -12). Делителями -12 являются: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

   Мы подставим эти значения в уравнение, чтобы найти корни.

2. Проверка корней:
   • Проверим x = 2:

   Подставляем в уравнение:

   2³ + 3(2)² - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0.

   Таким образом, x = 2 является корнем уравнения.

   • Проверим x = -3:

   Подставляем в уравнение:

   (-3)³ + 3(-3)² - 4(-3) - 12 = -27 + 27 + 12 - 12 = 0.

   Таким образом, x = -3 является корнем уравнения.

3. Разложение на множители:

   Теперь, когда мы нашли корни, мы можем разложить многочлен. Если x = 2 и x = -3, то мы можем записать уравнение в виде:

   (x - 2)(x + 3)(Ax + B) = 0,

   где Ax + B - это линейный множитель, который мы найдем, раскрыв скобки и приравняв к исходному уравнению.

4. Нахождение оставшегося множителя:

   Раскроем скобки:

   (x - 2)(x + 3) = x² + x - 6.

   Теперь умножим на оставшийся множитель:

   (x² + x - 6)(Ax + B) = Ax³ + (B + 2A)x² + (-6A + B)x - 6B.

   Сравниваем коэффициенты с оригинальным уравнением:

   • A = 1 (коэффициент при x³)
   • B + 2A = 3 (коэффициент при x²)
   • -6A + B = -4 (коэффициент при x)
   • -6B = -12 (свободный член)

   Решая эти уравнения, мы находим A = 1 и B = -2.

5. Записываем окончательное разложение:

   Теперь мы можем записать уравнение в виде:

   (x - 2)(x + 3)(x - 2) = 0.

   Это означает, что у нас есть корни:

   • x = 2 (двойной корень)
   • x = -3 (одинарный корень)

Таким образом, уравнение x³ + 3x² - 4x - 12 = 0 имеет корни x = 2 (двойной корень) и x = -3.