Как можно упростить выражение (x^3 + 2x^2 - 16x - 32) / ((x + 2)(x + 4))?

Алгебра 8 класс Упрощение дробных алгебраических выражений Упрощение выражения алгебра 8 класс дробные выражения математические операции факторизация многочлена Новый

Чтобы упростить выражение (x^3 + 2x^2 - 16x - 32) / ((x + 2)(x + 4)), нам нужно сначала упростить числитель, то есть многочлен x^3 + 2x^2 - 16x - 32. Мы будем использовать метод деления многочленов.

Шаг 1: Деление многочлена

Мы будем делить многочлен x^3 + 2x^2 - 16x - 32 на (x + 2) и (x + 4) последовательно. Начнем с деления на (x + 2).

1. Разделим x^3 на x, получаем x^2.
2. Умножим (x + 2) на x^2, получаем x^3 + 2x^2.
3. Вычтем это из исходного многочлена:
• (x^3 + 2x^2) - (x^3 + 2x^2) = 0.
4. Теперь у нас остается -16x - 32.
5. Теперь делим -16x на x, получаем -16.
6. Умножим (x + 2) на -16, получаем -16x - 32.
7. Вычтем это из -16x - 32:
• (-16x - 32) - (-16x - 32) = 0.

Таким образом, мы получили, что x^3 + 2x^2 - 16x - 32 делится на (x + 2) без остатка, и результат деления равен x^2 - 16.

Шаг 2: Упрощение выражения

Теперь у нас есть выражение:

(x^3 + 2x^2 - 16x - 32) = (x + 2)(x^2 - 16).

Теперь подставим это в исходное выражение:

(x + 2)(x^2 - 16) / ((x + 2)(x + 4)).

Мы можем сократить (x + 2) в числителе и знаменателе (при условии, что x не равен -2):

(x^2 - 16) / (x + 4).

Шаг 3: Упрощение дальше

Теперь заметим, что x^2 - 16 является разностью квадратов:

x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4).

Теперь подставим это в выражение:

((x - 4)(x + 4)) / (x + 4).

Теперь мы можем снова сократить (x + 4) (при условии, что x не равен -4):

(x - 4).

Ответ: Упрощенное выражение равно x - 4 (при условии, что x не равен -2 и -4).