Как найти производную функции у, заданной формулой у = х² + ³√(х²)?

Алгебра 8 класс Производная функции производная функции алгебра 8 класс у = х² + ³√(х²) нахождение производной формулы производной Новый

Чтобы найти производную функции y, заданной формулой y = x² + ³√(x²), мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Запишите функцию:

   y = x² + ³√(x²).

2. Приведите корень к степени:

   Мы знаем, что ³√(x²) можно записать как (x²)^(1/3). Таким образом, функция станет:

   y = x² + (x²)^(1/3).

3. Найдите производную каждого слагаемого:
   • Для первого слагаемого x²:

   Используем правило: d(x^n)/dx = n*x^(n-1). Здесь n = 2, поэтому:

   d(x²)/dx = 2*x^(2-1) = 2x.

   • Для второго слагаемого (x²)^(1/3):

   Сначала применим правило: d(u^n)/dx = n*u^(n-1)*du/dx, где u = x² и n = 1/3.

   Найдите производную u:

   du/dx = 2x.

   Теперь подставим в формулу:

   d((x²)^(1/3))/dx = (1/3)*(x²)^(1/3 - 1)*(2x) = (1/3)*(x²)^(-2/3)*(2x).

   Упростим это выражение:

   (1/3)*(2x)/(x^(4/3)) = (2/3)*(x^(1 - 4/3)) = (2/3)*(x^(-1/3)) = (2/(3√(x)))

   (где мы перевели x^(-1/3) в 1/³√(x)).
4. Сложите производные:

   Теперь, когда мы нашли производные обоих слагаемых, мы можем записать полную производную:

   dy/dx = 2x + (2/(3√(x))).

Итак, окончательный ответ:

Производная функции y = x² + ³√(x²) равна dy/dx = 2x + (2/(3√(x))).