Как найти разность и первый член арифметической прогрессии, если сумма седьмого и девятого членов равна 12, а произведение шестого и десятого членов равно -28?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия алгебра 8 класс арифметическая прогрессия разность первый член сумма членов произведение членов седьмой член девятый член шестой член десятый член уравнение решение задач математические задачи Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что такое арифметическая прогрессия. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается из предыдущего путем добавления постоянной разности. Обозначим первый член прогрессии как a, а разность как d.

Члены арифметической прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a + d
• Третий член: a + 2d
• Четвертый член: a + 3d
• Пятый член: a + 4d
• Шестой член: a + 5d
• Седьмой член: a + 6d
• Восьмой член: a + 7d
• Девятый член: a + 8d
• Десятый член: a + 9d

Теперь у нас есть информация о седьмом и девятом членах:

Сумма седьмого и девятого членов равна 12:

(a + 6d) + (a + 8d) = 12

Упрощаем это уравнение:

2a + 14d = 12

Теперь разделим все на 2:

a + 7d = 6 (1)

Теперь рассмотрим информацию о шестом и десятем членах:

Произведение шестого и десятого членов равно -28:

(a + 5d) * (a + 9d) = -28

Раскроем скобки:

a^2 + 9ad + 5ad + 45d^2 = -28

Упрощаем:

a^2 + 14ad + 45d^2 + 28 = 0 (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. Уравнение (1): a + 7d = 6
2. Уравнение (2): a^2 + 14ad + 45d^2 + 28 = 0

Теперь выразим a из первого уравнения:

a = 6 - 7d

Подставим это значение a во второе уравнение:

(6 - 7d)^2 + 14(6 - 7d)d + 45d^2 + 28 = 0

Раскроем скобки:

(36 - 84d + 49d^2) + (84d - 98d^2) + 45d^2 + 28 = 0

Соберем все подобные члены:

36 + 28 - 84d + 84d + (49 - 98 + 45)d^2 = 0

Упростим:

64 - 4d^2 = 0

Теперь решим это уравнение:

4d^2 = 64 d^2 = 16 d = 4 или d = -4

Теперь подставим найденные значения d обратно в уравнение (1) для нахождения a:

• Если d = 4: a + 7*4 = 6 → a + 28 = 6 → a = 6 - 28 = -22
• Если d = -4: a + 7*(-4) = 6 → a - 28 = 6 → a = 6 + 28 = 34

Таким образом, мы получили два возможных решения:

• Первый вариант: a = -22, d = 4
• Второй вариант: a = 34, d = -4

Таким образом, разность и первый член арифметической прогрессии могут быть:

• a = -22, d = 4
• a = 34, d = -4