Как найти решение уравнения x в кубе минус 4x в квадрате плюс x плюс 6?

Алгебра 8 класс Уравнения третьей степени решение уравнения алгебра 8 класс уравнение кубической степени нахождение корней математические задачи алгебраические уравнения Новый

Чтобы найти решение уравнения x в кубе минус 4x в квадрате плюс x плюс 6, мы можем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Записать уравнение

Запишем уравнение в стандартной форме:

x³ - 4x² + x + 6 = 0

Шаг 2: Попробовать найти рациональные корни

Для начала можно попробовать найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни могут быть представлены в виде дробей, где числитель — делители свободного члена, а знаменатель — делители старшего коэффициента.

• Свободный член: 6 (делители: ±1, ±2, ±3, ±6)
• Старший коэффициент: 1 (делители: ±1)

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±6.

Шаг 3: Проверить возможные корни

Теперь проверим эти значения, подставляя их в уравнение:

• Для x = 1: 1³ - 4(1)² + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 (не корень)
• Для x = -1: (-1)³ - 4(-1)² + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0 (корень!)

Таким образом, x = -1 является корнем уравнения.

Шаг 4: Разложить многочлен

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разложить многочлен на множители, используя корень x = -1. Мы можем использовать деление многочлена:

Разделим x³ - 4x² + x + 6 на (x + 1) с помощью деления многочленов. После деления мы получим:

x³ - 4x² + x + 6 = (x + 1)(x² - 5x + 6)

Шаг 5: Найти корни квадратного уравнения

Теперь нужно решить квадратное уравнение x² - 5x + 6 = 0. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = 6.

Сначала находим дискриминант:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.

Теперь подставляем значения в формулу:

• x₁ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
• x₂ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Шаг 6: Записать все корни

Теперь у нас есть все корни уравнения:

• x₁ = -1
• x₂ = 2
• x₃ = 3

Таким образом, решения уравнения x³ - 4x² + x + 6 = 0: x = -1, x = 2, x = 3.