Как найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии (a n), если известно, что a3 + a5 + a13 = 33 и a15 – a8 – a10 = 1? Какова будет сумма S30?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия сумма тридцати членов арифметическая прогрессия a3 a5 a13 a15 a8 a10 S30 решение задачи алгебра 8 класс Новый

Чтобы найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии, нам нужно сначала определить её параметры: первый член и разность прогрессии. Давайте обозначим первый член прогрессии как a и разность как d.

Арифметическая прогрессия имеет вид:

• a1 = a
• a2 = a + d
• a3 = a + 2d
• a4 = a + 3d
• a5 = a + 4d
• и так далее.

Теперь, используя данные условия:

1. Из условия a3 + a5 + a13 = 33:
• a3 = a + 2d
• a5 = a + 4d
• a13 = a + 12d

Подставим это в уравнение:

(a + 2d) + (a + 4d) + (a + 12d) = 33

Это упрощается до:

3a + 18d = 33

Можно разделить всё на 3:

a + 6d = 11 (1)

2. Из условия a15 - a8 - a10 = 1:
• a15 = a + 14d
• a8 = a + 7d
• a10 = a + 9d

Подставим это в уравнение:

(a + 14d) - (a + 7d) - (a + 9d) = 1

Это упрощается до:

a + 14d - a - 7d - a - 9d = 1

Сокращаем:

-a - 2d = 1

Или:

a + 2d = -1 (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + 6d = 11 (1)
2. a + 2d = -1 (2)

Решим эту систему. Из уравнения (2) выразим a:

a = -1 - 2d

Подставим это выражение в уравнение (1):

(-1 - 2d) + 6d = 11

-1 + 4d = 11

4d = 12

d = 3

Теперь подставим значение d в одно из уравнений, чтобы найти a:

a + 2(3) = -1

a + 6 = -1

a = -7

Теперь у нас есть первый член a = -7 и разность d = 3. Теперь мы можем найти сумму первых 30 членов арифметической прогрессии. Формула для суммы S_n первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Подставим n = 30, a = -7 и d = 3:

S_30 = 30/2 * (2 * (-7) + (30 - 1) * 3)

S_30 = 15 * (-14 + 29)

S_30 = 15 * 15

S_30 = 225

Таким образом, сумма тридцати первых членов арифметической прогрессии S30 равна 225.