Чтобы определить область определения данного выражения, нам нужно рассмотреть каждую часть выражения, которая включает в себя квадратные корни. Квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, поэтому мы должны установить условия для каждого корня.

Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, мы должны решить неравенство:

x² - 12x + 20 ≥ 0

Для этого найдем корни квадратного уравнения x² - 12x + 20 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-12)² - 4 * 1 * 20 = 144 - 80 = 64.
• Корни уравнения: x₁ = (12 + √64) / 2 = (12 + 8) / 2 = 10, x₂ = (12 - √64) / 2 = (12 - 8) / 2 = 2.

Теперь мы можем разложить квадратный трёхчлен:

(x - 2)(x - 10) ≥ 0

Для решения неравенства найдем промежутки:

• Проверяем знаки на интервалах: (-∞, 2),(2, 10) и (10, +∞).
• При x < 2: оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• При 2 < x < 10: один множитель положительный, другой отрицательный, произведение отрицательное.
• При x > 10: оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

x ≤ 2 или x ≥ 10.

Аналогично, для второго корня, установим условие:

x² + 14x + 18 ≥ 0

Найдем дискриминант:

• D = 14² - 4 * 1 * 18 = 196 - 72 = 124.
• Корни: x₁ = (-14 + √124) / 2, x₂ = (-14 - √124) / 2.

Корни будут действительными, но мы можем заметить, что парабола открыта вверх (коэффициент при x² положительный),и если дискриминант положительный, то она пересекает ось абсцисс в двух точках. Следовательно, она будет отрицательной между корнями и положительной вне этих корней.

То есть, неравенство выполняется вне корней:

x ≤ (-14 - √124)/2 или x ≥ (-14 + √124)/2.

Теперь нам нужно объединить оба условия:

• x ≤ 2 или x ≥ 10 (из первого корня)
• x ≤ (-14 - √124)/2 или x ≥ (-14 + √124)/2 (из второго корня)

Нужно найти пересечения этих условий, чтобы определить область определения всего выражения. Область определения будет состоять из всех значений x, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.

Таким образом, окончательная область определения выражения будет:

x ≤ 2 или x ≥ 10.

Помните, что для более точного ответа важно также вычислить значения корней второго корня и проверить, не попадают ли они в уже найденные промежутки.