Как провести исследование функции y = 1/x + 2?

Алгебра 8 класс Исследование функций исследование функции функция y = 1/x + 2 алгебра 8 класс график функции свойства функции Новый

Чтобы провести исследование функции y = 1/x + 2, мы будем рассматривать несколько важных аспектов: область определения, асимптоты, поведение функции, а также ее график. Давайте разберем каждый из этих шагов.

1. Область определения

Область определения функции - это все значения x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция y = 1/x + 2 не определена, когда x = 0, так как деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения функции:

• x ∈ R, x ≠ 0

2. Асимптоты

Теперь рассмотрим асимптоты. Мы можем найти вертикальную и горизонтальную асимптоты.

• Вертикальная асимптота: Поскольку функция не определена при x = 0, это означает, что x = 0 является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальная асимптота: Чтобы найти горизонтальную асимптоту, мы можем рассмотреть предел функции при x, стремящемся к бесконечности:

lim (x → ∞) (1/x + 2) = 0 + 2 = 2. Таким образом, y = 2 является горизонтальной асимптотой.

3. Поведение функции

Теперь давайте исследуем поведение функции в разных областях:

• При x → 0+ (x стремится к нулю справа): y → +∞.
• При x → 0- (x стремится к нулю слева): y → -∞.
• При x → ∞: y → 2.
• При x → -∞: y → 2.

4. Нахождение производной

Для более глубокого анализа функции можно найти ее производную:

y' = -1/x². Это показывает, что функция убывает на всей своей области определения, так как производная всегда отрицательна.

5. График функции

Теперь, когда мы знаем область определения, асимптоты и поведение функции, мы можем построить график:

• График будет подходить к вертикальной асимптоте x = 0 и горизонтальной асимптоте y = 2.
• Функция будет убывать от +∞ до -∞ при x, стремящемся к 0.
• При x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности, график будет приближаться к линии y = 2.

Таким образом, мы провели полное исследование функции y = 1/x + 2. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!