Чтобы решить иррациональное уравнение √(1 - 3x) = 3 + x, следуем следующим шагам:
- Изолируем корень: У нас уже есть корень с одной стороны уравнения, поэтому мы можем сразу перейти к следующему шагу.
- Квадратим обе стороны уравнения: Для того чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
- (√(1 - 3x))² = (3 + x)²
- 1 - 3x = (3 + x)(3 + x)
- Раскрываем скобки: Теперь раскроем скобки на правой стороне уравнения:
- Переносим все члены в одну сторону: Приведем уравнение к стандартному виду, перенесем все члены в одну сторону:
- 0 = x² + 6x + 9 + 3x - 1
- 0 = x² + 9x + 8
- Составляем квадратное уравнение: Теперь у нас есть квадратное уравнение:
- Находим корни уравнения: Используем дискриминант для нахождения корней:
- D = b² - 4ac = 9² - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49
- Корни уравнения вычисляем по формуле x = (-b ± √D) / 2a:
- x₁ = (-9 + 7) / 2 = -1
- x₂ = (-9 - 7) / 2 = -8
- Проверяем корни: Так как мы работали с иррациональным уравнением, необходимо проверить, подходят ли найденные корни к исходному уравнению:
- Для x₁ = -1:
- √(1 - 3(-1)) = √(1 + 3) = √4 = 2
- 3 + (-1) = 2
- Оба значения равны, значит x₁ = -1 является решением.
- Для x₂ = -8:
- √(1 - 3(-8)) = √(1 + 24) = √25 = 5
- 3 + (-8) = -5
- Значения не равны, значит x₂ = -8 не является решением.
- Ответ: Таким образом, единственным решением данного иррационального уравнения является x = -1.