Для решения уравнения х^3 + 3х^2 - 9х - 27 = 0 мы можем воспользоваться методом деления многочленов или методом подбора корней. Давайте рассмотрим шаги более подробно.

1. Поиск рациональных корней:

   Сначала попробуем найти корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Для этого нам нужно проверить делители свободного члена (-27) и делители старшего коэффициента (1).

   • Делители -27: ±1, ±3, ±9, ±27
   • Делители 1: ±1

   Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±3, ±9, ±27.

2. Проверка возможных корней:

   Теперь мы будем подставлять эти значения в уравнение и проверять, является ли результат равным нулю.

   • Подставим х = 3:

   3^3 + 3*3^2 - 9*3 - 27 = 27 + 27 - 27 - 27 = 0

   Таким образом, х = 3 является корнем уравнения.

3. Деление многочлена:

   Теперь, когда мы нашли один корень (х = 3), мы можем разделить многочлен х^3 + 3х^2 - 9х - 27 на (х - 3) с помощью деления многочленов.

   При делении получаем:

   х^3 + 3х^2 - 9х - 27 = (х - 3)(х^2 + 6х + 9)

4. Решение квадратного уравнения:

   Теперь нам нужно решить квадратное уравнение х^2 + 6х + 9 = 0. Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта или заметив, что оно является полным квадратом:

   (х + 3)^2 = 0

   Таким образом, х + 3 = 0, что дает х = -3.

5. Запись всех корней:

   Теперь мы можем записать все корни уравнения:

   • х = 3
   • х = -3 (двойной корень)

Итак, окончательный ответ: х = 3 и х = -3.