Чтобы решить уравнение x³ + 2x² + 3x + 6 = 0, мы можем воспользоваться несколькими методами. Начнем с поиска рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях.

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения — это делители свободного члена (в данном случае 6) и делители старшего коэффициента (в данном случае 1).

Делители числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6.

Проверим каждый из этих возможных корней, подставляя их в уравнение.

• Подставим x = -1:

-1³ + 2*(-1)² + 3*(-1) + 6 = -1 + 2 - 3 + 6 = 4 (не корень)

• Подставим x = -2:

-2³ + 2*(-2)² + 3*(-2) + 6 = -8 + 8 - 6 + 6 = 0 (корень)

Мы нашли корень: x = -2.

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разделить многочлен x³ + 2x² + 3x + 6 на (x + 2) с помощью деления многочленов.

Произведем деление:

1. Первый член: x³ делим на x, получаем x².
2. Умножаем x² на (x + 2) и вычитаем: (x³ + 2x²) - (x³ + 2x²) = 0.
3. Теперь берем следующий член: 3x. Снова делим: 3x делим на x, получаем 3.
4. Умножаем 3 на (x + 2) и вычитаем: (3x + 6) - (3x + 6) = 0.

Таким образом, мы получили, что x³ + 2x² + 3x + 6 = (x + 2)(x² + 3).

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить уравнение x² + 3 = 0.

Переносим 3 на другую сторону: x² = -3.

Теперь, извлекая корень, мы получаем: x = ±√(-3), что можно записать как x = ±i√3, где i — мнимая единица.

Итак, окончательные корни уравнения:

• x = -2 (реальный корень)
• x = i√3 (мнимый корень)
• x = -i√3 (мнимый корень)

Таким образом, уравнение x³ + 2x² + 3x + 6 = 0 имеет один реальный корень и два мнимых корня.