Как решить уравнение x³ + 2x² + 3x + 6 = 0?

Алгебра 8 класс Уравнения третьей степени решение уравнения алгебра 8 класс уравнение x³ + 2x² + 3x + 6 методы решения уравнений кубические уравнения алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение x³ + 2x² + 3x + 6 = 0, мы можем использовать несколько методов. В данном случае попробуем найти корни уравнения с помощью подбора и затем, если это возможно, разложить его на множители.

Шаг 1: Подбор возможных корней

Сначала мы можем попробовать найти рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни могут быть делителями свободного члена (в данном случае 6).

• Делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Теперь подставим эти значения по очереди в уравнение, чтобы проверить, являются ли они корнями:

• Для x = 1: 1³ + 2(1)² + 3(1) + 6 = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 (не корень)
• Для x = -1: (-1)³ + 2(-1)² + 3(-1) + 6 = -1 + 2 - 3 + 6 = 4 (не корень)
• Для x = 2: 2³ + 2(2)² + 3(2) + 6 = 8 + 8 + 6 + 6 = 28 (не корень)
• Для x = -2: (-2)³ + 2(-2)² + 3(-2) + 6 = -8 + 8 - 6 + 6 = 0 (корень)

Мы нашли корень: x = -2.

Шаг 2: Деление многочлена на (x + 2)

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разделить многочлен x³ + 2x² + 3x + 6 на (x + 2) с помощью деления многочленов.

Делим:

1. Первый член: x³ делим на x, получаем x².
2. Умножаем (x + 2) на x²: x³ + 2x².
3. Вычитаем: (x³ + 2x² + 3x + 6) - (x³ + 2x²) = 3x + 6.
4. Теперь делим 3x на x, получаем 3.
5. Умножаем (x + 2) на 3: 3x + 6.
6. Вычитаем: (3x + 6) - (3x + 6) = 0.

Таким образом, мы можем записать уравнение как:

(x + 2)(x² + 3) = 0.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Мы знаем, что одно из множителей равно нулю:

• x + 2 = 0, что дает x = -2 (уже найденный корень).
• x² + 3 = 0, что можно решить как x² = -3.

Корни уравнения x² + 3 = 0 будут комплексными:

• x = ±√(-3) = ±i√3.

Ответ: Уравнение x³ + 2x² + 3x + 6 = 0 имеет один действительный корень x = -2 и два комплексных корня x = i√3 и x = -i√3.