Чтобы решить уравнение x³ - 4x² + x - 4 = 0, мы можем воспользоваться методом подбора корней и факторизацией. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни могут быть дробями, где числитель - это делители свободного члена (в данном случае -4), а знаменатель - делители старшего коэффициента (в данном случае 1).

Делители -4: ±1, ±2, ±4.

Таким образом, возможные корни: ±1, ±2, ±4.

Давайте подставим эти значения в уравнение и проверим, является ли одно из них корнем:

• Для x = 1: 1³ - 4(1)² + 1 - 4 = 1 - 4 + 1 - 4 = -6 (не корень)
• Для x = -1: (-1)³ - 4(-1)² + (-1) - 4 = -1 - 4 - 1 - 4 = -10 (не корень)
• Для x = 2: 2³ - 4(2)² + 2 - 4 = 8 - 16 + 2 - 4 = -10 (не корень)
• Для x = -2: (-2)³ - 4(-2)² + (-2) - 4 = -8 - 16 - 2 - 4 = -30 (не корень)
• Для x = 4: 4³ - 4(4)² + 4 - 4 = 64 - 64 + 4 - 4 = 0 (корень)

Теперь, когда мы нашли корень x = 4, мы можем использовать деление многочлена для нахождения остальных корней. Мы будем делить x³ - 4x² + x - 4 на (x - 4).

Выполним синтетическое деление:

1. Записываем коэффициенты: 1, -4, 1, -4.
2. Записываем 4 (наш корень) слева.
3. Сначала опускаем 1, затем умножаем на 4 и добавляем: 1, 0, 4, 0.

Остаток равен 0, и мы получили многочлен: x² + 0x + 1 = x² + 1.

Теперь решим уравнение x² + 1 = 0:

• x² = -1.
• x = ±√(-1) = ±i (где i - мнимая единица).

Таким образом, уравнение x³ - 4x² + x - 4 = 0 имеет три корня:

• x = 4 (реальный корень),
• x = i (мнимый корень),
• x = -i (мнимый корень).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!