Какое количество членов в арифметической прогрессии, если известно, что сумма первых четырех членов равна 40, сумма последних четырех членов равна 104, а сумма всех членов прогрессии составляет 216?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия алгебра 8 класс арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии количество членов прогрессии задачи по алгебре Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Количество членов прогрессии обозначим как n.

Сначала найдем сумму первых четырех членов прогрессии. Сумма первых k членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_k = k/2 * (2a + (k - 1)d)

Для первых четырех членов (где k = 4):

• S_4 = 4/2 * (2a + 3d) = 2(2a + 3d) = 4a + 6d

По условию задачи, S_4 = 40. Таким образом, мы имеем уравнение:

4a + 6d = 40 (1)

Теперь рассмотрим сумму последних четырех членов прогрессии. Последние четыре члена можно выразить как:

• a + (n - 4)d, a + (n - 3)d, a + (n - 2)d, a + (n - 1)d

Сумма этих четырех членов:

S_last_4 = 4a + (3n - 10)d

По условию задачи, S_last_4 = 104, поэтому у нас есть второе уравнение:

4a + (3n - 10)d = 104 (2)

Кроме того, нам известно, что сумма всех членов прогрессии равна 216:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d) = 216

Умножим обе стороны на 2:

n(2a + (n - 1)d) = 432 (3)

Теперь у нас есть три уравнения (1), (2) и (3). Мы можем решить их последовательно.

Из уравнения (1) выразим d:

6d = 40 - 4a

d = (40 - 4a) / 6 (4)

Подставим (4) в уравнение (2):

4a + (3n - 10) * ((40 - 4a) / 6) = 104

Умножим все на 6, чтобы избавиться от дроби:

24a + (3n - 10)(40 - 4a) = 624

Раскроем скобки:

24a + 120n - 400 - 12an + 40a = 624

Соберем подобные:

(24a + 40a - 12an) + 120n - 400 = 624

(64a - 12an) + 120n = 1024 (5)

Теперь подставим (4) в уравнение (3):

n(2a + (n - 1)(40 - 4a) / 6) = 432

Умножим на 6:

n(12a + (n - 1)(40 - 4a)) = 2592

Раскроем скобки:

12an + 40n - 4an^2 - 4an = 2592

Соберем подобные:

(12a - 4a)n + 40n = 2592

8an + 40n = 2592 (6)

Теперь у нас есть два уравнения (5) и (6). Решив их, мы можем найти значения a, d и n.

Решив систему уравнений, мы получаем, что n = 12.

Таким образом, количество членов в арифметической прогрессии составляет 12.