Какое натуральное значение p делает выражение x² + p(p-1)x + 36 квадратом двучлена?

Алгебра 8 класс Квадрат двучлена алгебра 8 класс квадрат двучлена натуральное значение p выражение x² решение уравнения свойства квадратов задачи по алгебре Новый

Чтобы определить, какое натуральное значение p делает выражение x² + p(p-1)x + 36 квадратом двучлена, нам нужно вспомнить, что квадрат двучлена имеет вид (ax + b)², где a и b - некоторые числа.

Раскроем скобки и сравним коэффициенты:

1. (ax + b)² = a²x² + 2abx + b²

Теперь мы можем сопоставить коэффициенты из нашего выражения x² + p(p-1)x + 36 с коэффициентами из (ax + b)²:

• Коэффициент при x²: a² = 1, отсюда a = 1 (так как a - натуральное число).
• Коэффициент при x: 2ab = p(p-1).
• Свободный член: b² = 36.

Теперь найдем b. Поскольку b² = 36, то b может принимать два значения: b = 6 или b = -6. Но так как b - это коэффициент, мы возьмем только положительное значение, то есть b = 6.

Теперь подставим значение b в уравнение 2ab = p(p-1):

• 2 * 1 * 6 = p(p-1)
• 12 = p(p-1).

Теперь решим уравнение p(p-1) = 12:

1. p² - p - 12 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-1)² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.

Теперь найдем корни уравнения:

• p = (1 ± √49) / 2 = (1 ± 7) / 2.

Это дает нам два значения:

• p₁ = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4,
• p₂ = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3.

Так как p должно быть натуральным числом, то единственным подходящим решением является p = 4.

Таким образом, натуральное значение p, которое делает выражение квадратом двучлена, равно 4.