Какое значение разности арифметической прогрессии нужно выбрать, чтобы сумма попарных произведений первых трех членов прогрессии была наименьшей, если четвертый член этой прогрессии равен 1?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия алгебра 8 класс арифметическая прогрессия сумма произведений наименьшее значение четвертый член прогрессии Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим, что такое арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается добавлением постоянной разности к предыдущему члену.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Тогда первые три члена прогрессии можно записать так:

• Первый член: a
• Второй член: a + d
• Третий член: a + 2d

Четвертый член прогрессии равен 1, значит:

a + 3d = 1

Теперь нам нужно найти сумму попарных произведений первых трех членов. Сумма попарных произведений будет равна:

S = a(a + d) + a(a + 2d) + (a + d)(a + 2d)

Раскроем скобки:

• a(a + d) = a^2 + ad
• a(a + 2d) = a^2 + 2ad
• (a + d)(a + 2d) = a^2 + 2ad + ad + 2d^2 = a^2 + 3ad + 2d^2

Теперь подставим все эти выражения в сумму:

S = (a^2 + ad) + (a^2 + 2ad) + (a^2 + 3ad + 2d^2)

Соберем подобные слагаемые:

S = 3a^2 + 6ad + 2d^2

Теперь нам нужно выразить a через d из уравнения a + 3d = 1:

a = 1 - 3d

Подставим значение a в сумму S:

S = 3(1 - 3d)^2 + 6(1 - 3d)d + 2d^2

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

S = 3(1 - 6d + 9d^2) + 6d - 18d^2 + 2d^2

S = 3 - 18d + 27d^2 + 6d - 18d^2 + 2d^2

S = 3 - 12d + 11d^2

Теперь мы имеем квадратное уравнение S = 11d^2 - 12d + 3. Чтобы найти значение d, при котором сумма S будет минимальной, найдем координаты вершины параболы.

Координаты вершины квадратной функции y = ax^2 + bx + c находятся по формуле:

d = -b/(2a>, где a = 11, b = -12.

Подставим значения:

d = -(-12)/(2 * 11) = 12/22 = 6/11

Таким образом, чтобы сумма попарных произведений первых трех членов арифметической прогрессии была наименьшей, нужно выбрать разность прогрессии d = 6/11.