Какова исходная дробь, если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по 1, то дробь станет равна одной второй, а при сложении квадратов числителя и знаменателя исходной дроби получится 146?

Алгебра 8 класс Рациональные дроби алгебра 8 класс обыкновенные дроби числитель и знаменатель квадрат числителя квадрат знаменателя решение уравнения дробь равна одной второй задача по алгебре Новый

Для решения этой задачи мы обозначим исходную дробь как a/b, где a - числитель, а b - знаменатель.

У нас есть два условия:

1. Если к числителю и знаменателю прибавить 1, то дробь станет равна одной второй:
(a + 1) / (b + 1) = 1/2
2. Сумма квадратов числителя и знаменателя равна 146:
a^2 + b^2 = 146

Теперь мы будем решать эти уравнения шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение.

Из первого уравнения мы можем выразить a через b:

Умножим обе стороны на 2(b + 1):

2(a + 1) = b + 1

Раскроем скобки:

2a + 2 = b + 1

Переносим b и 2 в одну сторону:

2a - b = -1 (1)

Шаг 2: Используем второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 2a - b = -1 (1)
• a^2 + b^2 = 146 (2)

Из уравнения (1) выразим b:

b = 2a + 1

Теперь подставим это значение b во второе уравнение (2):

a^2 + (2a + 1)^2 = 146

Раскроем скобки:

a^2 + (4a^2 + 4a + 1) = 146

Сложим подобные члены:

5a^2 + 4a + 1 - 146 = 0

Упрощаем уравнение:

5a^2 + 4a - 145 = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 5, b = 4, c = -145.

Сначала найдем дискриминант:

D = 4^2 - 4 5 (-145) = 16 + 2900 = 2916

Теперь находим корни:

a = (-4 ± √2916) / (2 * 5)

√2916 = 54, тогда:

a1 = (-4 + 54) / 10 = 50 / 10 = 5 a2 = (-4 - 54) / 10 = -58 / 10 = -5.8 (не подходит, так как a должно быть положительным)

Таким образом, a = 5.

Шаг 4: Находим b.

Подставим значение a в выражение для b:

b = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11

Итак, исходная дробь:

a/b = 5/11

Проверка:

• Прибавим 1 к числителю и знаменателю: (5 + 1)/(11 + 1) = 6/12 = 1/2 (все верно)
• Проверим сумму квадратов: 5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146 (все верно)

Таким образом, исходная дробь равна 5/11.