Какова скорость течения реки, если катер прошёл 3 км по течению на 30 минут быстрее, чем 8 км против течения, при собственной скорости катера 15 км/ч?

Алгебра 8 класс Задачи на движение скорость течения реки катер алгебра 8 класс задачи на движение решение задач по алгебре Новый

Для решения задачи начнем с обозначения переменных и использования формул для расчета времени. Обозначим скорость течения реки как v.

Скорость катера по течению будет равна 15 + v км/ч, а против течения — 15 - v км/ч.

Теперь найдем время, которое катер тратит на прохождение 3 км по течению и 8 км против течения.

• Время по течению:
  • Расстояние = 3 км
  • Скорость = 15 + v км/ч
  • Время = Расстояние / Скорость = 3 / (15 + v) часов
• Время против течения:
  • Расстояние = 8 км
  • Скорость = 15 - v км/ч
  • Время = Расстояние / Скорость = 8 / (15 - v) часов

Согласно условию задачи, время, затраченное на путь по течению, на 30 минут (или 0.5 часа) меньше, чем время, затраченное на путь против течения. Это можно записать в виде уравнения:

3 / (15 + v) = 8 / (15 - v) - 0.5

Теперь решим это уравнение. Сначала избавимся от дробей, умножив обе стороны на (15 + v)(15 - v):

1. 3(15 - v) = 8(15 + v) - 0.5(15 + v)(15 - v)

Раскроем скобки:

1. 45 - 3v = 120 + 8v - 0.5(225 - v^2)

Упростим уравнение:

1. 45 - 3v = 120 + 8v - 112.5 + 0.5v^2
2. 45 - 3v = 7.5 + 8v + 0.5v^2

Переносим все в одну сторону:

1. 0.5v^2 + 11v + 7.5 - 45 = 0
2. 0.5v^2 + 11v - 37.5 = 0

Умножим уравнение на 2 для удобства:

1. v^2 + 22v - 75 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 * 1 * (-75) = 484 + 300 = 784
2. Корни уравнения: v = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения:

1. v = (-22 ± √784) / 2 = (-22 ± 28) / 2
2. v1 = 3, v2 = -25

Так как скорость не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение:

Скорость течения реки равна 3 км/ч.