Решим уравнение:

1. Запишем уравнение:

х³ - 3х² + 4 = 0

2. Найдем корни уравнения:

Для начала попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Она говорит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид ± делителей свободного члена (в нашем случае 4) деленных на делители старшего коэффициента (в нашем случае 1).

Делители числа 4: ±1, ±2, ±4.

3. Проверим возможные корни:

• Подставим х = 1:

1³ - 3 * 1² + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 (не корень)

• Подставим х = -1:

(-1)³ - 3 * (-1)² + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 (корень)

• Подставим х = 2:

2³ - 3 * 2² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 (корень)

• Подставим х = -2:

(-2)³ - 3 * (-2)² + 4 = -8 - 12 + 4 = -16 (не корень)

• Подставим х = 4:

4³ - 3 * 4² + 4 = 64 - 48 + 4 = 20 (не корень)

• Подставим х = -4:

(-4)³ - 3 * (-4)² + 4 = -64 - 48 + 4 = -108 (не корень)

Таким образом, корни уравнения: х = -1 и х = 2.

4. Разложим многочлен:

Теперь, зная один корень, мы можем разложить многочлен на множители. Если х = -1, то (х + 1) - один из множителей.

Сделаем деление многочлена х³ - 3х² + 4 на (х + 1) с помощью деления многочленов:

Результат деления: х² - 4х + 4.

Теперь у нас есть:

(х + 1)(х² - 4х + 4) = 0.

5. Найдем корни квадратного уравнения:

Решим уравнение х² - 4х + 4 = 0. Это квадратное уравнение можно решить по формуле корней:

Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:

х = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.

6. Подведем итоги:

Таким образом, все корни уравнения х³ - 3х² + 4 = 0:

• х = -1
• х = 2 (двойной корень)

Ответ: х = -1 и х = 2.