При каких значениях x:

1. выражение x в кубе + x в квадрате - x - 1 равно 0;
2. сумма дробей (x - 1)/(x - 5) и (x + 8)/(2x + 3) равна их произведению?

Алгебра 8 класс Уравнения и неравенства алгебра 8 класс уравнения кубическое уравнение дроби сумма и произведение дробей решение уравнений математические задачи Новый

Давайте решим оба уравнения по очереди.

1. Уравнение: x^3 + x^2 - x - 1 = 0

Для начала мы можем попробовать найти корни этого уравнения с помощью метода подбора. Проверим некоторые целые числа:

• Подставим x = 1:
  1^3 + 1^2 - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0.
  Значит, x = 1 является корнем.
• Теперь мы можем разделить многочлен x^3 + x^2 - x - 1 на (x - 1) с помощью деления многочленов.

После деления мы получим:

• x^3 + x^2 - x - 1 = (x - 1)(x^2 + 2x + 1).

Теперь у нас есть квадратный многочлен x^2 + 2x + 1, который можно упростить:

• x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.

Таким образом, уравнение можно записать как:

• (x - 1)(x + 1)^2 = 0.

Теперь находим корни:

• x - 1 = 0 → x = 1;
• (x + 1)^2 = 0 → x + 1 = 0 → x = -1 (двойной корень).

Итак, корни уравнения x^3 + x^2 - x - 1 = 0: x = 1 и x = -1.

2. Уравнение: (x - 1)/(x - 5) + (x + 8)/(2x + 3) = (x - 1)/(x - 5) * (x + 8)/(2x + 3)

Сначала обозначим:

• A = (x - 1)/(x - 5);
• B = (x + 8)/(2x + 3).

Тогда у нас есть уравнение:

• A + B = A * B.

Перепишем его в удобном виде:

• A * B - A - B = 0.

Теперь подставим значения A и B:

• ((x - 1)/(x - 5)) * ((x + 8)/(2x + 3)) - (x - 1)/(x - 5) - (x + 8)/(2x + 3) = 0.

Умножим все на (x - 5)(2x + 3), чтобы избавиться от дробей:

• (x - 1)(x + 8) - (x - 5)(x + 8) - (x - 1)(2x + 3) = 0.

Теперь раскроем скобки:

• (x^2 + 8x - x - 8) - (x^2 + 8x - 5x - 40) - (2x^2 + 3x - x + 3) = 0.

Упрощаем выражение:

• x^2 + 7x - 8 - (x^2 + 3x + 40) - (2x^2 + 2x + 3) = 0.

Соберем все подобные члены:

• -2x^2 + 2x - 51 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * (-2) * (-51) = 4 - 408 = -404.

Поскольку дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней.

Итак, подводя итог:

• Корни уравнения x^3 + x^2 - x - 1 = 0: x = 1 и x = -1.
• Уравнение суммы дробей и их произведения не имеет действительных корней.