Давайте разберем ваши вопросы один за другим.

1. Как можно определить девятнадцатый член арифметической прогрессии, если a1 = 30 и d = -2?

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:

an = a1 + (n - 1) * d

Где:

• a1 - первый член прогрессии,
• d - разность прогрессии,
• n - номер члена, который мы хотим найти.

В нашем случае:

• a1 = 30,
• d = -2,
• n = 19.

Подставляем значения в формулу:

a19 = 30 + (19 - 1) * (-2)

Считаем:

• (19 - 1) = 18,
• 18 * (-2) = -36,
• 30 - 36 = -6.

Таким образом, девятнадцатый член прогрессии равен -6.

2. Как вычислить сумму семнадцати первых членов арифметической прогрессии: -16; -10; -4; ...?

Сначала определим первый член (a1) и разность (d):

• a1 = -16,
• d = -10 - (-16) = 6.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (a1 + an)

Где an - n-й член прогрессии. Сначала найдем a17:

a17 = a1 + (17 - 1) * d = -16 + 16 * 6 = -16 + 96 = 80.

Теперь подставим значения в формулу суммы:

S_17 = 17/2 * (-16 + 80) = 17/2 * 64 = 17 * 32 = 544.

Таким образом, сумма семнадцати первых членов равна 544.

3. Как можно доказать, что последовательность, заданная формулой an = 2 + 5n, является арифметической прогрессией?

Для доказательства, что последовательность является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Рассмотрим два последовательных члена:

• a_n = 2 + 5n,
• a_(n+1) = 2 + 5(n + 1) = 2 + 5n + 5.

Теперь найдем разность:

a_(n+1) - a_n = (2 + 5n + 5) - (2 + 5n) = 5.

Поскольку разность равна 5 и не зависит от n, последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 5.

4. Можно ли утверждать, что число -35 является членом арифметической прогрессии, в которой a1 = 3 и a7 = -9?

Сначала найдем разность d прогрессии:

Используем формулу для a7:

a7 = a1 + (7 - 1) * d.

Подставляем известные значения:

-9 = 3 + 6d.

Решим уравнение:

6d = -9 - 3 = -12,

d = -12 / 6 = -2.

Теперь мы можем записать общий член прогрессии:

an = a1 + (n - 1) * d = 3 + (n - 1) * (-2).

Чтобы -35 был членом прогрессии, должно выполняться:

-35 = 3 + (n - 1) * (-2).

Решим это уравнение:

-35 - 3 = (n - 1) * (-2),

-38 = (n - 1) * (-2),

n - 1 = 19,

n = 20.

Таким образом, -35 является 20-м членом прогрессии.

5. Как можно найти сумму пятидесяти первых нечетных натуральных чисел?

Нечетные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию, где:

• a1 = 1,
• d = 2.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (a1 + an).

Сначала найдем a50:

a50 = a1 + (50 - 1) * d = 1 + 49 * 2 = 1 + 98 = 99.

Теперь подставим значения в формулу суммы:

S_50 = 50/2 * (1 + 99) = 25 * 100 = 2500.

Таким образом, сумма пятидесяти первых нечетных натуральных чисел равна 2500.