Сколько первых членов арифметической прогрессии (xn) составляет 120, если x3 + xn-2 = 30?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия члены прогрессии x3 + xn-2 алгебра 8 класс решение задачи по алгебре Новый

Давайте разберемся с данной задачей, шаг за шагом.

Арифметическая прогрессия (АП) имеет свойство, что каждый следующий член прогрессии получается путем добавления постоянной разности к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии как a, а разность как d.

Тогда общая формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

xn = a + (n - 1)d

Теперь у нас есть два выражения, которые нужно использовать: x3 и xn-2.

Сначала найдем x3:

• x3 = a + (3 - 1)d = a + 2d

Теперь найдем xn-2:

• xn-2 = a + (n - 2 - 1)d = a + (n - 3)d

Теперь подставим эти выражения в уравнение: x3 + xn-2 = 30.

Получаем:

• (a + 2d) + (a + (n - 3)d) = 30

Сложим подобные члены:

• 2a + (2 + n - 3)d = 30
• 2a + (n - 1)d = 30

Теперь мы знаем, что сумма первых n членов прогрессии равна 120. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:

S = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Подставим значение суммы:

• 120 = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. 2a + (n - 1)d = 30
2. 120 = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Подставим первое уравнение во второе. Из первого уравнения мы знаем, что 2a + (n - 1)d = 30, тогда подставим это в сумму:

• 120 = n/2 * 30

Упростим:

• 120 = 15n

Теперь найдем n:

• n = 120 / 15 = 8

Таким образом, n = 8. Это означает, что первых 8 членов арифметической прогрессии составляют 120.

Ответ: 8.