Сумма членов арифметической прогрессии и ее первый член положительны. Если увеличить разность этой прогрессии на 4, не меняя первого члена, то сумма ее членов увеличится в 3 раза. Если же первый член исходной прогрессии увеличить в 5 раз, не меняя ее разности, то сумма членов также увеличится в 3 раза. Какова разность исходной прогрессии?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия алгебра 8 класс арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии разность прогрессии первый член прогрессии задачи на прогрессии Новый

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Обозначим количество членов прогрессии как n.

Сумма членов арифметической прогрессии S может быть вычислена по формуле:

S = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Теперь у нас есть две ситуации, которые описаны в условии задачи:

1. Увеличение разности на 4: Если мы увеличим разность d на 4, то новая разность будет (d + 4). Сумма членов прогрессии теперь будет:

S1 = n/2 * (2a + (n - 1)(d + 4))

По условию, эта сумма увеличивается в 3 раза по сравнению с исходной:

S1 = 3S

2. Увеличение первого члена в 5 раз: Если мы увеличим первый член a в 5 раз, то новый первый член будет 5a. Сумма членов прогрессии теперь будет:

S2 = n/2 * (2(5a) + (n - 1)d)

По условию, эта сумма также увеличивается в 3 раза по сравнению с исходной:

S2 = 3S

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1) n/2 * (2a + (n - 1)(d + 4)) = 3 * (n/2 * (2a + (n - 1)d))

2) n/2 * (2(5a) + (n - 1)d) = 3 * (n/2 * (2a + (n - 1)d))

Сначала упростим первое уравнение:

Убираем n/2 с обеих сторон:

2a + (n - 1)(d + 4) = 3(2a + (n - 1)d)

Раскроем скобки:

2a + (n - 1)d + 4(n - 1) = 6a + 3(n - 1)d

Соберем подобные:

4(n - 1) = 4a + 2(n - 1)d

Или:

2(n - 1) = 2a + (n - 1)d

Таким образом, мы получили:

2(n - 1) = 2a + (n - 1)d

(1)

Теперь упростим второе уравнение:

Убираем n/2 с обеих сторон:

2(5a) + (n - 1)d = 3(2a + (n - 1)d)

Раскроем скобки:

10a + (n - 1)d = 6a + 3(n - 1)d

Соберем подобные:

10a - 6a = 3(n - 1)d - (n - 1)d

Или:

4a = 2(n - 1)d

(2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):

(1) 2(n - 1) = 2a + (n - 1)d

(2) 4a = 2(n - 1)d

Из второго уравнения выразим d:

d = 2a/(n - 1)

Подставим d из второго уравнения в первое:

2(n - 1) = 2a + (n - 1)(2a/(n - 1))

Упрощаем:

2(n - 1) = 2a + 2a = 4a

Следовательно:

n - 1 = 2a

Теперь подставим n = 2a + 1 в d:

d = 2a/(2a) = 1

Таким образом, разность исходной прогрессии равна 1.

Ответ: разность исходной прогрессии d = 1.