Сумма первых 9 членов арифметической прогрессии составляет половину суммы следующих 9 членов. Каково отношение суммы первых 27 членов прогрессии к сумме её первых 9 членов?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии отношение сумм прогрессии задача по алгебре 8 класс алгебра Новый

Для решения данной задачи начнем с обозначений. Пусть a - первый член арифметической прогрессии, а d - её разность. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Теперь найдем суммы первых 9 и следующих 9 членов прогрессии:

• Сумма первых 9 членов (S_9):

S_9 = 9/2 * (2a + (9 - 1)d) = 9/2 * (2a + 8d) = 9(a + 4d)

• Сумма следующих 9 членов (S_10 до S_18):

Для этого найдем сумму от 10 до 18 члена, используя формулу:

S_18 - S_9 = (S_18 = 18/2 * (2a + (18 - 1)d) = 9(2a + 17d))

Следовательно, S_10 до S_18 = S_18 - S_9 = 9(2a + 17d) - 9(a + 4d) = 9(2a + 17d - a - 4d) = 9(a + 13d)

По условию задачи, сумма первых 9 членов составляет половину суммы следующих 9 членов:

S_9 = 1/2 * (S_10 до S_18)

Подставляем найденные суммы:

9(a + 4d) = 1/2 * 9(a + 13d)

Упрощаем уравнение:

9(a + 4d) = 9/2 * (a + 13d)

Убираем 9 из обеих сторон:

a + 4d = 1/2 * (a + 13d)

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2(a + 4d) = a + 13d

2a + 8d = a + 13d

Теперь перенесем все термины с 'a' в одну сторону, а с 'd' в другую:

2a - a = 13d - 8d

a = 5d

Теперь мы знаем, что первый член прогрессии равен 5 разности. Теперь найдем сумму первых 27 членов (S_27):

S_27 = 27/2 * (2a + (27 - 1)d) = 27/2 * (2(5d) + 26d) = 27/2 * (10d + 26d) = 27/2 * 36d = 486d

Теперь найдем отношение суммы первых 27 членов к сумме первых 9 членов:

Отношение = S_27 / S_9 = 486d / 9(a + 4d)

Подставим значение a = 5d:

S_9 = 9(5d + 4d) = 9(9d) = 81d

Теперь можем найти отношение:

Отношение = 486d / 81d = 486 / 81 = 6

Таким образом, отношение суммы первых 27 членов прогрессии к сумме её первых 9 членов равно 6.