Сумма первых n членов возрастающей арифметической прогрессии равна половине суммы следующих её n членов. Сколько раз сумма первых 5n членов этой прогрессии превышает сумму её первых n членов?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия алгебра 8 класс арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии задача на прогрессию математические задачи Новый

Рассмотрим возрастающую арифметическую прогрессию, в которой первый член обозначим как a, а разность прогрессии — как d. Сумма первых n членов этой прогрессии может быть найдена по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d).

Сумма следующих n членов, начиная с (n + 1) по (2n), также может быть найдена. Первый член этих n членов будет a + nd, и мы можем записать сумму так:

S_(2n) - S_n = n/2 * (2(a + nd) + (n - 1)d) = n/2 * (2a + 2nd + (n - 1)d) = n/2 * (2a + nd + nd - d) = n/2 * (2a + (2n - 1)d).

Согласно условию задачи, сумма первых n членов равна половине суммы следующих n членов:

S_n = 1/2 * (S_(2n) - S_n).

Подставим выражения для S_n и S_(2n) - S_n:

n/2 * (2a + (n - 1)d) = 1/2 * (n/2 * (2a + (2n - 1)d)).

Умножим обе стороны на 2:

n * (2a + (n - 1)d) = n/2 * (2a + (2n - 1)d).

Теперь, если n не равно нулю, можно разделить обе стороны на n:

2a + (n - 1)d = 1/2 * (2a + (2n - 1)d).

Умножим обе стороны на 2:

4a + 2(n - 1)d = 2a + (2n - 1)d.

Упрощаем уравнение:

4a + 2nd - 2d = 2a + 2nd - d.

Соберем все члены с a и d:

4a - 2a = 2nd - 2nd + d.

Таким образом, получаем:

2a = d.

Теперь мы знаем, что d = 2a. Теперь найдем сумму первых 5n членов:

S_(5n) = 5n/2 * (2a + (5n - 1)d).

Подставим d:

S_(5n) = 5n/2 * (2a + (5n - 1)(2a)) = 5n/2 * (2a + 10an - 2a) = 5n/2 * (10an) = 25an^2.

Теперь найдем сумму первых n членов:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d) = n/2 * (2a + (n - 1)(2a)) = n/2 * (2a + 2an - 2a) = n/2 * (2an) = an^2.

Теперь мы можем найти, сколько раз сумма первых 5n членов превышает сумму первых n членов:

Коэффициент = S_(5n) / S_n = (25an^2) / (an^2) = 25.

Таким образом, сумма первых 5n членов арифметической прогрессии в 25 раз превышает сумму её первых n членов.