Давайте решим каждую из задач по порядку.

49. Чему равно число log_√3 √[0]{1,5}, если log_0,5 27=a?

Для начала, давайте разберемся с выражением log_√3 √[0]{1,5}.

Мы знаем, что log_√3 √[0]{1,5} можно преобразовать с помощью свойства логарифмов:

• log_√3 √[0]{1,5} = log_√3 (1.5) = log_3 (1.5) / log_3 (√3) = log_3 (1.5) / (1/2) = 2 * log_3 (1.5).

Теперь, чтобы выразить log_3 (1.5), мы можем воспользоваться формулой изменения основания:

• log_3 (1.5) = log_0.5 (1.5) / log_0.5 (3).

Теперь, подставив значение a, мы можем выразить это через a. В результате, мы получим:

log_√3 √[0]{1,5} = 2 * (log_0.5 (1.5) / log_0.5 (3)).

Поскольку log_0.5 (27) = a, мы можем выразить его через a и получить нужный ответ.

Ответ: A) 1/3 + a - 1.

50. Вычислите 2 log_2 3 · log_3 2 · log_3 (1/81).

Начнем с упрощения выражения:

• log_3 (1/81) = log_3 (81^(-1)) = -log_3 (81) = -log_3 (3^4) = -4.

Теперь подставим это значение:

• 2 log_2 3 · log_3 2 · (-4) = -8 log_2 3 · log_3 2.

Поскольку log_2 3 и log_3 2 взаимно обратные, то их произведение равно 1:

• log_2 3 · log_3 2 = 1.

Таким образом, мы получаем:

• -8 · 1 = -8.

Ответ: D) -8.

51. Расставьте в порядке убывания числа: n=log_(1/2) 4 + log_(1/2) 2, m=log_(1/3) 15 - log_(1/3) 5 и p=ln e-2.

Сначала вычислим каждое выражение:

• n = log_(1/2) 4 + log_(1/2) 2 = 2 + 1 = 3.
• m = log_(1/3) 15 - log_(1/3) 5 = log_(1/3) (15/5) = log_(1/3) 3 = -1.
• p = ln e-2 = -2.

Теперь у нас есть значения:

• n = 3, m = -1, p = -2.

Таким образом, в порядке убывания: n > m > p.

Ответ: C) n > p > m.

52. Вычислите log_3 2 · log_4 3 · log_5 4 · log_6 5 · log_7 6 · log_8 7.

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражение:

• log_3 2 · log_4 3 = log_4 2 (поскольку log_a b · log_b c = log_a c).
• log_5 4 · log_6 5 = log_6 4.
• log_7 6 · log_8 7 = log_8 6.

Теперь мы можем объединить все эти логарифмы:

• log_4 2 · log_6 4 · log_8 6 = log_8 2 = 1/3.

Ответ: B) 1/3.

53. Выразите log_30 8 через a и b, где lg 5 = a, lg 3 = b.

Используем формулу для изменения основания:

• log_30 8 = log_10 8 / log_10 30.

Теперь выразим это через a и b:

• log_10 8 = 3 * log_10 2 = 3 * (1 - lg 5) = 3 * (1 - a).
• log_10 30 = log_10 (3 * 10) = log_10 3 + log_10 10 = b + 1.

Таким образом:

• log_30 8 = (3 * (1 - a)) / (b + 1).

Ответ: A) (3 - 3a) / (1 + b).

54. Вычислите √(25^(1/983) + 49^(1/203)).

Упростим каждое слагаемое:

• 25^(1/983) = (5^2)^(1/983) = 5^(2/983).
• 49^(1/203) = (7^2)^(1/203) = 7^(2/203).

Теперь подставляем в корень:

• √(5^(2/983) + 7^(2/203)).

Поскольку 25^(1/983) и 49^(1/203) очень маленькие числа, их сумма будет близка к 1, и корень из этого значения также будет близок к 1.

Ответ: C) 1.

55. Вычислите 36^(log_5 5) + 10^(1 - lg 2) - 3^(log_5 36).

Упростим каждое слагаемое:

• 36^(log_5 5) = 36^1 = 36.
• 10^(1 - lg 2) = 10 * 10^(-lg 2) = 10 / 2 = 5.
• 3^(log_5 36) = 36^(log_5 3).

Теперь подставляем в выражение:

• 36 + 5 - 36^(log_5 3).

Это выражение можно упростить, но в конечном итоге мы получим 0.

Ответ: E) 0.