Чтобы доказать, что число T является периодом функции f, нам необходимо выяснить, выполняется ли условие f(x + T) = f(x). Если это условие выполняется, то мы можем утверждать, что T - период функции.

В нашем случае функция задана как f(x) = 2tg(3x). Мы знаем, что стандартный период функции тангенс (tg) составляет π. Однако в нашей функции аргумент тангенса умножен на 3. Это означает, что период функции будет изменён.

Чтобы найти период функции f, мы можем использовать следующее правило: период стандартной функции tg(x) равен π, и чтобы получить период функции tg(kx),где k - это коэффициент перед x, мы должны разделить стандартный период на k. В нашем случае k = 3.

Таким образом, мы можем вычислить период T следующим образом:

• Стандартный период tg(x) = π.
• Мы делим π на 3: T = π / 3.

Теперь давайте проверим, выполняется ли условие f(x + T) = f(x) с найденным периодом T = π / 3:

Подставим T в функцию:

• f(x + T) = f(x + π/3) = 2tg(3(x + π/3)) = 2tg(3x + π) = 2tg(3x).

Поскольку tg(θ + π) = tg(θ) для любого угла θ, мы получаем:

• f(x + T) = 2tg(3x) = f(x).

Таким образом, мы видим, что f(x + T) = f(x),что доказывает, что T = π / 3 является периодом функции f(x) = 2tg(3x).

В заключение, мы можем сказать, что период функции f равен π / 3, и это подтверждено вычислениями. Доказано!