Как можно определить значение a⁴ + b⁴ + c⁴, если известно, что a + b + c = 0 и a² + b² + c² = 1?

Алгебра 9 класс Системы уравнений и неравенств значение a⁴ + b⁴ + c⁴ a + b + c = 0 a² + b² + c² = 1 алгебра 9 класс задачи по алгебре математические уравнения Новый

Для нахождения значения выражения a⁴ + b⁴ + c⁴, зная, что a + b + c = 0 и a² + b² + c² = 1, мы можем воспользоваться некоторыми алгебраическими преобразованиями.

1. Начнем с того, что мы можем выразить a⁴ + b⁴ + c⁴ через a², b² и c². Для этого воспользуемся формулой:

a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a² + b² + c²)² - 2(a²b² + b²c² + c²a²)

2. Мы уже знаем, что a² + b² + c² = 1. Подставим это значение в формулу:

a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1² - 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 1 - 2(a²b² + b²c² + c²a²)

3. Теперь нам нужно найти значение a²b² + b²c² + c²a². Мы можем использовать известные равенства. Для этого воспользуемся формулой:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(a*b + b*c + c*a)

4. Подставим известные значения:

• (0)² = 1 + 2(a*b + b*c + c*a)
• 0 = 1 + 2(a*b + b*c + c*a)
• 2(a*b + b*c + c*a) = -1
• a*b + b*c + c*a = -1/2

5. Теперь, используя это значение, мы можем выразить a²b² + b²c² + c²a² через a*b + b*c + c*a:

(a*b + b*c + c*a)² = a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a + b + c)

Так как a + b + c = 0, то последнее слагаемое исчезает:

(-1/2)² = a²b² + b²c² + c²a²

1/4 = a²b² + b²c² + c²a²

6. Подставим это значение обратно в выражение для a⁴ + b⁴ + c⁴:

a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1 - 2(1/4) = 1 - 1/2 = 1/2

Таким образом, мы находим, что:

a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1/2