Для решения данной системы уравнений с использованием двойной замены переменных, начнем с того, что у нас есть следующие уравнения:

1. x^2 + y^2 + 2(x + y) = 23
2. x^2 + y^2 + xy = 19

Первым шагом мы можем ввести новые переменные для упрощения уравнений. Давайте введем:

• u = x + y
• v = xy

Теперь выразим x^2 + y^2 через u и v. Мы знаем, что:

x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v

Теперь подставим это выражение в оба уравнения:

1. u^2 - 2v + 2u = 23
2. u^2 - 2v + v = 19

Упрощаем каждое уравнение:

1. u^2 + 2u - 2v = 23
2. u^2 - v = 19

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными (u и v):

1. u^2 + 2u - 2v = 23
2. u^2 - v = 19

Из второго уравнения выразим v:

v = u^2 - 19

Теперь подставим это значение v в первое уравнение:

u^2 + 2u - 2(u^2 - 19) = 23

Раскроем скобки:

u^2 + 2u - 2u^2 + 38 = 23

Соберем все члены в одну сторону:

-u^2 + 2u + 38 - 23 = 0

-u^2 + 2u + 15 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

u^2 - 2u - 15 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-15) = 4 + 60 = 64

Теперь находим корни уравнения:

u = (2 ± √64) / 2 = (2 ± 8) / 2

Таким образом, получаем два значения для u:

• u1 = (2 + 8) / 2 = 5
• u2 = (2 - 8) / 2 = -3

Теперь подставим найденные значения u обратно в выражение для v:

• Для u1 = 5: v1 = 5^2 - 19 = 25 - 19 = 6
• Для u2 = -3: v2 = (-3)^2 - 19 = 9 - 19 = -10

Теперь у нас есть два набора значений (u, v): (5, 6) и (-3, -10).

Теперь вернемся к переменным x и y:

Для первого набора (u = 5, v = 6):

x + y = 5

xy = 6

Это система уравнений, которую можно решить, используя квадратное уравнение:

t^2 - ut + v = 0:

t^2 - 5t + 6 = 0

D = (-5)^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1

Корни:

t = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2

Таким образом, t1 = 3 и t2 = 2, что дает нам x = 3, y = 2 или x = 2, y = 3.

Для второго набора (u = -3, v = -10):

x + y = -3

xy = -10

Решаем аналогично:

t^2 + 3t - 10 = 0

D = 3^2 - 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49

Корни:

t = (-3 ± √49) / 2 = (-3 ± 7) / 2

Таким образом, t1 = 2 и t2 = -5, что дает нам x = 2, y = -5 или x = -5, y = 2.

В итоге, у нас есть четыре решения:

• (3, 2)
• (2, 3)
• (2, -5)
• (-5, 2)

Таким образом, мы нашли все возможные решения системы уравнений с помощью двойной замены переменных.