Как можно решить систему уравнений: x² + y² = 20 и xy = 8?
Алгебра 9 класс Системы уравнений решение системы уравнений алгебра 9 класс уравнения x² + y² = 20 xy = 8 методы решения уравнений Новый
Чтобы решить систему уравнений:
мы можем использовать метод подстановки или метод выражения одной переменной через другую. В данном случае удобнее будет выразить одну переменную через другую с помощью второго уравнения.
1. Из уравнения xy = 8 выразим одну переменную, например, y:
y = 8/x
2. Подставим это выражение для y в первое уравнение:
x² + (8/x)² = 20
3. Упростим уравнение:
x² + 64/x² = 20
4. Умножим обе стороны уравнения на x², чтобы избавиться от дроби:
x⁴ - 20x² + 64 = 0
5. Обозначим z = x². Тогда уравнение примет вид:
z² - 20z + 64 = 0
6. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-20)² - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144
7. Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня:
z₁ = (20 + √144) / 2 = (20 + 12) / 2 = 32 / 2 = 16
z₂ = (20 - √144) / 2 = (20 - 12) / 2 = 8 / 2 = 4
8. Теперь вернемся к переменной x:
x² = z₁ = 16 → x = ±4
x² = z₂ = 4 → x = ±2
9. Теперь найдем соответствующие значения y для каждого значения x, используя уравнение y = 8/x:
10. Таким образом, мы получили четыре решения системы:
Эти пары (x, y) являются решениями данной системы уравнений.