Как можно решить систему уравнений: x² + y² = 20 и xy = 8?

Алгебра 9 класс Системы уравнений решение системы уравнений алгебра 9 класс уравнения x² + y² = 20 xy = 8 методы решения уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений:

• x² + y² = 20
• xy = 8

мы можем использовать метод подстановки или метод выражения одной переменной через другую. В данном случае удобнее будет выразить одну переменную через другую с помощью второго уравнения.

1. Из уравнения xy = 8 выразим одну переменную, например, y:

y = 8/x

2. Подставим это выражение для y в первое уравнение:

x² + (8/x)² = 20

3. Упростим уравнение:

x² + 64/x² = 20

4. Умножим обе стороны уравнения на x², чтобы избавиться от дроби:

x⁴ - 20x² + 64 = 0

5. Обозначим z = x². Тогда уравнение примет вид:

z² - 20z + 64 = 0

6. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-20)² - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144

7. Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня:

z₁ = (20 + √144) / 2 = (20 + 12) / 2 = 32 / 2 = 16

z₂ = (20 - √144) / 2 = (20 - 12) / 2 = 8 / 2 = 4

8. Теперь вернемся к переменной x:

x² = z₁ = 16 → x = ±4

x² = z₂ = 4 → x = ±2

9. Теперь найдем соответствующие значения y для каждого значения x, используя уравнение y = 8/x:

• Если x = 4, то y = 8/4 = 2
• Если x = -4, то y = 8/(-4) = -2
• Если x = 2, то y = 8/2 = 4
• Если x = -2, то y = 8/(-2) = -4

10. Таким образом, мы получили четыре решения системы:

• (4, 2)
• (-4, -2)
• (2, 4)
• (-2, -4)

Эти пары (x, y) являются решениями данной системы уравнений.