Как можно решить следующие уравнения, в которых присутствуют модули:

1. x ^ 2 + 2|x| - 63 = 0
2. x ^ 2 + 18|x| + 65 = 0
3. 1/5 * x ^ 2 + |x| - 10 = 0
4. 1/4 * x ^ 2 - |x| - 3 = 0
5. 3x ^ 2 - 4|x| + 1 = 0
6. 7x ^ 2 - 12|x| + 5 = 0

Алгебра 9 класс Уравнения с модулями решение уравнений с модулями алгебра 9 класс модули в уравнениях квадратные уравнения с модулями математические задачи с модулями Новый

Решение уравнений с модулями требует особого подхода, так как модуль может принимать разные значения в зависимости от знака переменной. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1. Уравнение: x^2 + 2|x| - 63 = 0

Сначала рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0, тогда |x| = x.
2. Случай 2: x < 0, тогда |x| = -x.

Теперь подставим в уравнение:

1. Случай 1: x^2 + 2x - 63 = 0. Это квадратное уравнение, которое можно решить по формуле корней. Дискриминант D = 2^2 - 4*1*(-63) = 4 + 252 = 256. Корни: x = (−2 ± 16) / 2 = 7 и -9. Поскольку мы рассматриваем случай x ≥ 0, принимаем x = 7.
2. Случай 2: x^2 - 2x - 63 = 0. Дискриминант D = (-2)^2 - 4*1*(-63) = 4 + 252 = 256. Корни: x = (2 ± 16) / 2 = 9 и -7. Поскольку x < 0, принимаем x = -7.

Ответ: x = 7 и x = -7.

2. Уравнение: x^2 + 18|x| + 65 = 0

Аналогично, рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0, |x| = x. Уравнение: x^2 + 18x + 65 = 0. D = 18^2 - 4*1*65 = 324 - 260 = 64. Корни: x = (-18 ± 8) / 2 = -5 и -13. Корни отрицательные, значит, в этом случае решений нет.
2. Случай 2: x < 0, |x| = -x. Уравнение: x^2 - 18x + 65 = 0. D = (-18)^2 - 4*1*65 = 324 - 260 = 64. Корни: x = (18 ± 8) / 2 = 13 и 5. Оба корня положительные, решений нет.

Ответ: нет решений.

3. Уравнение: (1/5)x^2 + |x| - 10 = 0

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0, |x| = x. Уравнение: (1/5)x^2 + x - 10 = 0. Умножим на 5: x^2 + 5x - 50 = 0. D = 5^2 - 4*1*(-50) = 25 + 200 = 225. Корни: x = (-5 ± 15) / 2 = 5 и -10. Поскольку x ≥ 0, принимаем x = 5.
2. Случай 2: x < 0, |x| = -x. Уравнение: (1/5)x^2 - x - 10 = 0. Умножим на 5: x^2 - 5x - 50 = 0. D = (-5)^2 - 4*1*(-50) = 25 + 200 = 225. Корни: x = (5 ± 15) / 2 = 10 и -5. Поскольку x < 0, принимаем x = -5.

Ответ: x = 5 и x = -5.

4. Уравнение: (1/4)x^2 - |x| - 3 = 0

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0, |x| = x. Уравнение: (1/4)x^2 - x - 3 = 0. Умножим на 4: x^2 - 4x - 12 = 0. D = (-4)^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64. Корни: x = (4 ± 8) / 2 = 6 и -2. Поскольку x ≥ 0, принимаем x = 6.
2. Случай 2: x < 0, |x| = -x. Уравнение: (1/4)x^2 + x - 3 = 0. Умножим на 4: x^2 + 4x - 12 = 0. D = 4^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64. Корни: x = (-4 ± 8) / 2 = 2 и -6. Поскольку x < 0, принимаем x = -6.

Ответ: x = 6 и x = -6.

5. Уравнение: 3x^2 - 4|x| + 1 = 0

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0, |x| = x. Уравнение: 3x^2 - 4x + 1 = 0. D = (-4)^2 - 4*3*1 = 16 - 12 = 4. Корни: x = (4 ± 2) / 6 = 1 и 1/3. Оба корня положительные, принимаем оба.
2. Случай 2: x < 0, |x| = -x. Уравнение: 3x^2 + 4x + 1 = 0. D = 4^2 - 4*3*1 = 16 - 12 = 4. Корни: x = (-4 ± 2) / 6 = -1/3 и -1. Оба корня отрицательные, принимаем оба.

Ответ: x = 1, x = 1/3, x = -1/3 и x = -1.

6. Уравнение: 7x^2 - 12|x| + 5 = 0

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0, |x| = x. Уравнение: 7x^2 - 12x + 5 = 0. D = (-12)^2 - 4*7*5 = 144 - 140 = 4. Корни: x = (12 ± 2) / 14 = 1 и 5/7. Оба корня положительные, принимаем оба.
2. Случай 2: x < 0, |x| = -x. Уравнение: 7x^2 + 12x + 5 = 0. D = 12^2 - 4*7*5 = 144 - 140 = 4. Корни: x = (-12 ± 2) / 14 = -5/7 и -1. Оба корня отрицательные, принимаем оба.

Ответ: x = 1, x = 5/7, x = -5/7 и x = -1.

Таким образом, мы рассмотрели все уравнения с модулями и нашли их решения.