Как можно решить уравнение 2|x-3| - |2x-2| = 4?

Алгебра 9 класс Уравнения с модулями решение уравнения алгебра 9 класс уравнение с модулями метод решения примеры уравнений математические задачи алгебраические уравнения

Для решения уравнения 2|x-3| - |2x-2| = 4, начнем с анализа модульных выражений. Модули могут принимать разные значения в зависимости от того, в каком интервале находится x. Рассмотрим точки, в которых выражения внутри модулей равны нулю:

• |x - 3| = 0, когда x = 3
• |2x - 2| = 0, когда 2x - 2 = 0, т.е. x = 1

Таким образом, у нас есть три интервала, которые нужно рассмотреть:

• Интервал 1: x < 1
• Интервал 2: 1 ≤ x < 3
• Интервал 3: x ≥ 3

Теперь решим уравнение для каждого интервала:

Интервал 1: x < 1

В этом интервале оба выражения под модулями отрицательные:

• |x - 3| = 3 - x
• |2x - 2| = 2 - 2x

Подставим в уравнение:

2(3 - x) - (2 - 2x) = 4

Упростим:

6 - 2x - 2 + 2x = 4

6 - 2 = 4, что верно для любого x < 1. Таким образом, все значения x в интервале x < 1 являются решениями.

Интервал 2: 1 ≤ x < 3

В этом интервале:

• |x - 3| = 3 - x
• |2x - 2| = 2x - 2

Подставим в уравнение:

2(3 - x) - (2x - 2) = 4

Упростим:

6 - 2x - 2x + 2 = 4

8 - 4x = 4

4x = 4, т.е. x = 1. Это значение попадает в интервал, поэтому x = 1 является решением.

Интервал 3: x ≥ 3

В этом интервале оба выражения под модулями положительные:

• |x - 3| = x - 3
• |2x - 2| = 2x - 2

Подставим в уравнение:

2(x - 3) - (2x - 2) = 4

Упростим:

2x - 6 - 2x + 2 = 4

-4 = 4, что является противоречием. Таким образом, в этом интервале нет решений.

Теперь подведем итоги:

• В интервале x < 1: все значения являются решениями.
• В интервале 1 ≤ x < 3: x = 1 является решением.
• В интервале x ≥ 3: нет решений.

Таким образом, окончательный ответ: все x < 1 и x = 1.

Для решения уравнения 2|x-3| - |2x-2| = 4, нам нужно учитывать, что в уравнении присутствуют модули, которые могут принимать разные значения в зависимости от того, какое значение принимает переменная x. Поэтому мы будем рассматривать различные случаи, исходя из значений, при которых выражения внутри модулей меняют знак.

Сначала определим точки, в которых модули меняют знак:

• Для |x-3|: меняет знак при x = 3.
• Для |2x-2|: меняет знак при 2x - 2 = 0, то есть x = 1.

Теперь у нас есть три интервала, которые мы будем рассматривать:

• x < 1
• 1 ≤ x < 3
• x ≥ 3

Теперь решим уравнение для каждого из этих интервалов.

1. Интервал: x < 1

В этом интервале оба модуля будут отрицательными:

• |x-3| = 3-x
• |2x-2| = 2-2x

Подставим эти значения в уравнение:

2(3-x) - (2-2x) = 4

Упрощаем:

6 - 2x - 2 + 2x = 4

6 - 2 = 4, что верно. Таким образом, любое x < 1 является решением.

2. Интервал: 1 ≤ x < 3

В этом интервале |x-3| будет отрицательным, а |2x-2| положительным:

• |x-3| = 3-x
• |2x-2| = 2x-2

Подставляем в уравнение:

2(3-x) - (2x-2) = 4

Упрощаем:

6 - 2x - 2x + 2 = 4

8 - 4x = 4

4x = 4

x = 1.

Поскольку x = 1 входит в этот интервал, это решение также подходит.

3. Интервал: x ≥ 3

В этом интервале оба модуля будут положительными:

• |x-3| = x-3
• |2x-2| = 2x-2

Подставляем в уравнение:

2(x-3) - (2x-2) = 4

Упрощаем:

2x - 6 - 2x + 2 = 4

-4 = 4, что является противоречием.

Таким образом, в этом интервале решений нет.

Итак, подводя итог:

• Все x < 1 являются решениями.
• x = 1 также является решением.
• В интервале x ≥ 3 решений нет.

Ответ: Все x ≤ 1 являются решениями уравнения 2|x-3| - |2x-2| = 4.