Как можно решить уравнение |x+1|-|x|+3×|x-1|-2×|x-2|=x+2? Пожалуйста, объясните процесс решения.

Алгебра 9 класс Уравнения с модулями решение уравнения алгебра 9 класс модульные уравнения процесс решения уравнения примеры уравнений математические уравнения уравнения с модулями Новый

Для решения уравнения |x+1| - |x| + 3×|x-1| - 2×|x-2| = x + 2, начнем с анализа модульных функций. Модульные функции имеют разные выражения в зависимости от знака выражения внутри модуля. Поэтому мы будем рассматривать разные случаи в зависимости от значений x.

Сначала определим критические точки, где меняется знак внутри модулей. Это точки:

• x = -1 (где |x+1| меняет знак)
• x = 0 (где |x| меняет знак)
• x = 1 (где |x-1| меняет знак)
• x = 2 (где |x-2| меняет знак)

Таким образом, мы будем рассматривать 5 интервалов:

• (-∞, -1)
• [-1, 0)
• [0, 1)
• [1, 2)
• [2, +∞)

Теперь рассмотрим каждый интервал по отдельности.

1. Интервал (-∞, -1):

В этом интервале все модули будут отрицательными:

• |x+1| = -(x+1) = -x - 1
• |x| = -x
• |x-1| = -(x-1) = -x + 1
• |x-2| = -(x-2) = -x + 2

Подставим эти значения в уравнение:

-x - 1 - (-x) + 3(-x + 1) - 2(-x + 2) = x + 2

Упрощаем:

-x - 1 + x - 3x + 3 + 2x - 4 = x + 2

Соберем подобные:

-2x - 2 = x + 2

Переносим все на одну сторону:

-2x - x = 2 + 2

-3x = 4

x = -4/3

Проверяем, -4/3 < -1, значит, это решение подходит.

2. Интервал [-1, 0):

Здесь |x+1| = x + 1, |x| = -x, |x-1| = -x + 1, |x-2| = -x + 2:

(x + 1) - (-x) + 3(-x + 1) - 2(-x + 2) = x + 2

Упрощаем:

x + 1 + x - 3x + 3 + 2x - 4 = x + 2

Соберем подобные:

0 = 0

Все значения x в этом интервале подходят.

3. Интервал [0, 1):

Здесь |x+1| = x + 1, |x| = x, |x-1| = -x + 1, |x-2| = -x + 2:

(x + 1) - x + 3(-x + 1) - 2(-x + 2) = x + 2

Упрощаем:

1 - 3x + 3 + 2x - 4 = x + 2

Соберем подобные:

-x = 2

x = -2 (не подходит, так как x >= 0).

4. Интервал [1, 2):

Здесь |x+1| = x + 1, |x| = x, |x-1| = x - 1, |x-2| = -x + 2:

(x + 1) - x + 3(x - 1) - 2(-x + 2) = x + 2

Упрощаем:

1 + 3x - 3 + 2x - 4 = x + 2

Соберем подобные:

5x - 6 = x + 2

4x = 8

x = 2 (не подходит, так как x < 2).

5. Интервал [2, +∞):

Здесь |x+1| = x + 1, |x| = x, |x-1| = x - 1, |x-2| = x - 2:

(x + 1) - x + 3(x - 1) - 2(x - 2) = x + 2

Упрощаем:

1 + 3x - 3 - 2x + 4 = x + 2

Соберем подобные:

x + 2 = x + 2

Все значения x в этом интервале подходят.

Теперь мы можем собрать все найденные решения:

• x = -4/3 (из интервала (-∞, -1))
• Все x из интервала [-1, 0)
• Все x из интервала [2, +∞)

Таким образом, окончательный ответ:

x = -4/3, x ∈ [-1, 0), x ∈ [2, +∞).