Как можно упростить дробь (x^2 - 18x + 81) / (81 - x^2)?

Алгебра 9 класс Сокращение дробей упрощение дроби алгебра 9 класс дроби Квадратные уравнения факторизация математические выражения решение задач по алгебре Новый

Чтобы упростить дробь (x^2 - 18x + 81) / (81 - x^2), начнем с разложения числителя и знаменателя на множители.

Шаг 1: Разложим числитель.

Числитель: x^2 - 18x + 81.

Это квадратный трехчлен, который можно разложить следующим образом:

• Найдем корни уравнения x^2 - 18x + 81 = 0.
• Используем формулу для нахождения корней: x = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -18, c = 81.
• Вычислим дискриминант: D = (-18)^2 - 4 * 1 * 81 = 324 - 324 = 0.
• Так как дискриминант равен 0, у нас есть один корень: x = 18 / 2 = 9.
• Следовательно, x^2 - 18x + 81 = (x - 9)^2.

Шаг 2: Разложим знаменатель.

Знаменатель: 81 - x^2.

Это можно записать как - (x^2 - 81), что является разностью квадратов:

• 81 - x^2 = (9 - x)(9 + x).

Шаг 3: Запишем дробь с разложенными множителями.

Теперь мы можем переписать нашу дробь:

(x^2 - 18x + 81) / (81 - x^2) = (x - 9)^2 / (-(x - 9)(x + 9)).

Шаг 4: Упростим дробь.

Мы видим, что (x - 9) находится как в числителе, так и в знаменателе. Мы можем сократить его, но нужно помнить, что при этом x не должен равняться 9, так как это приведет к делению на ноль:

Таким образом, после сокращения мы получаем:

(x - 9) / -(x + 9).

Шаг 5: Запишем окончательный ответ.

Упрощенная форма дроби:

-(x - 9) / (x + 9), при условии, что x ≠ 9.

Таким образом, ответ: -(x - 9) / (x + 9), x ≠ 9.