Как найти решение для следующей системы уравнений:

x^2 + y^2 = 26

xy = -5

Алгебра 9 класс Системы уравнений система уравнений решение системы алгебра 9 класс x^2 + y^2 xy = -5 математические задачи Новый

Для решения данной системы уравнений:

• x^2 + y^2 = 26
• xy = -5

Мы можем использовать метод замены переменных. Начнем с того, что выразим y через x из второго уравнения:

1. Из уравнения xy = -5, выразим y: y = -5/x.

Теперь подставим это значение y в первое уравнение:

1. Подставим y в уравнение x^2 + y^2 = 26:
2. x^2 + (-5/x)^2 = 26.
3. Упростим это уравнение:
4. x^2 + (25/x^2) = 26.
5. Умножим всё уравнение на x^2, чтобы избавиться от дроби:
6. x^4 + 25 = 26x^2.
7. Перепишем уравнение в стандартной форме:
8. x^4 - 26x^2 + 25 = 0.

Теперь сделаем замену переменной. Пусть z = x^2. Тогда уравнение примет вид:

1. z^2 - 26z + 25 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -26, c = 25:
2. D = (-26)^2 - 4 * 1 * 25 = 676 - 100 = 576.
3. Так как D > 0, у уравнения два различных корня.

Теперь найдем корни:

1. z1 = (26 + sqrt(576)) / 2 = (26 + 24) / 2 = 25.
2. z2 = (26 - sqrt(576)) / 2 = (26 - 24) / 2 = 1.

Теперь вернемся к переменной x:

1. При z1 = 25: x^2 = 25, значит x = 5 или x = -5.
2. При z2 = 1: x^2 = 1, значит x = 1 или x = -1.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого x:

• Если x = 5, то y = -5/5 = -1.
• Если x = -5, то y = -5/(-5) = 1.
• Если x = 1, то y = -5/1 = -5.
• Если x = -1, то y = -5/(-1) = 5.

Таким образом, мы нашли все пары (x, y):

• (5, -1)
• (-5, 1)
• (1, -5)
• (-1, 5)

Это и есть решения данной системы уравнений.