Как найти решение системы уравнений:

1. √(x^2 + 5) + √(y^2 - 5) = 5
2. x^2 + y^2 = 13

Алгебра 9 класс Системы уравнений решение системы уравнений алгебра 9 класс уравнения с корнями система уравнений нахождение решений математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения данной системы уравнений, начнем с того, что у нас есть два уравнения:

1. √(x^2 + 5) + √(y^2 - 5) = 5
2. x^2 + y^2 = 13

Первое уравнение содержит корни, поэтому давайте сначала выразим одно из корней через другое. Для этого мы можем из первого уравнения выразить один из корней:

Перепишем первое уравнение:

√(y^2 - 5) = 5 - √(x^2 + 5)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(√(y^2 - 5))^2 = (5 - √(x^2 + 5))^2

Это дает нам:

y^2 - 5 = 25 - 10√(x^2 + 5) + (x^2 + 5)

Теперь упростим это уравнение:

y^2 - 5 = x^2 + 30 - 10√(x^2 + 5)

Теперь перенесем все известные члены в одну сторону:

y^2 - x^2 - 35 = -10√(x^2 + 5)

Теперь у нас есть выражение, содержащее корень, и мы можем использовать второе уравнение x^2 + y^2 = 13, чтобы выразить y^2:

y^2 = 13 - x^2

Подставим это значение в наше уравнение:

(13 - x^2) - x^2 - 35 = -10√(x^2 + 5)

Упростим это:

13 - 2x^2 - 35 = -10√(x^2 + 5)

-2x^2 - 22 = -10√(x^2 + 5)

Умножим обе стороны на -1:

2x^2 + 22 = 10√(x^2 + 5)

Теперь снова возведем обе стороны в квадрат:

(2x^2 + 22)^2 = (10√(x^2 + 5))^2

4x^4 + 88x^2 + 484 = 100(x^2 + 5)

Раскроем скобки:

4x^4 + 88x^2 + 484 = 100x^2 + 500

Переносим все в одну сторону:

4x^4 - 12x^2 - 16 = 0

Теперь у нас есть многочлен, который мы можем решить. Для этого можно разделить все на 4:

x^4 - 3x^2 - 4 = 0

Теперь сделаем замену: пусть z = x^2. Тогда у нас получается:

z^2 - 3z - 4 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25

Теперь найдем корни:

z1,2 = (3 ± √25) / 2 = (3 ± 5) / 2

z1 = 4, z2 = -1

Так как z = x^2, то x^2 = 4 или x^2 = -1. Поскольку x^2 не может быть отрицательным, мы берем только x^2 = 4, что дает x = ±2.

Теперь подставим x = 2 и x = -2 в уравнение x^2 + y^2 = 13:

• Для x = 2: 2^2 + y^2 = 13 → 4 + y^2 = 13 → y^2 = 9 → y = ±3.
• Для x = -2: (-2)^2 + y^2 = 13 → 4 + y^2 = 13 → y^2 = 9 → y = ±3.

Таким образом, у нас есть четыре решения системы:

• (2, 3)
• (2, -3)
• (-2, 3)
• (-2, -3)

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти решения первому уравнению:

• Для (2, 3): √(2^2 + 5) + √(3^2 - 5) = √(4 + 5) + √(9 - 5) = √9 + √4 = 3 + 2 = 5.
• Для (2, -3): √(2^2 + 5) + √((-3)^2 - 5) = √(4 + 5) + √(9 - 5) = 3 + 2 = 5.
• Для (-2, 3): √((-2)^2 + 5) + √(3^2 - 5) = √(4 + 5) + √(9 - 5) = 3 + 2 = 5.
• Для (-2, -3): √((-2)^2 + 5) + √((-3)^2 - 5) = √(4 + 5) + √(9 - 5) = 3 + 2 = 5.

Все четыре решения удовлетворяют обоим уравнениям системы. Таким образом, окончательные решения:

• (2, 3)
• (2, -3)
• (-2, 3)
• (-2, -3)