Как найти решение уравнения |x+2| - |x-3| = 2x - 1?

Алгебра 9 класс Уравнения с модулями решение уравнения алгебра 9 класс модульные уравнения графики функций математический анализ уравнения с модулями Новый

Чтобы решить уравнение |x + 2| - |x - 3| = 2x - 1, нам нужно учитывать, что абсолютные значения могут принимать разные формы в зависимости от значений x. Поэтому мы будем рассматривать несколько случаев.

Сначала определим точки, в которых выражения внутри абсолютных значений равны нулю:

• x + 2 = 0 → x = -2
• x - 3 = 0 → x = 3

Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

• Интервал 1: x < -2
• Интервал 2: -2 ≤ x < 3
• Интервал 3: x ≥ 3

Теперь рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. Интервал 1: x < -2

В этом интервале оба выражения внутри абсолютных значений отрицательны:

• |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2
• |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3

Подставим эти выражения в уравнение:

-x - 2 - (-x + 3) = 2x - 1

Упростим:

-x - 2 + x - 3 = 2x - 1

-5 = 2x - 1

Теперь решим это уравнение:

-5 + 1 = 2x

-4 = 2x

x = -2

Но x = -2 не принадлежит интервалу x < -2, поэтому решений в этом интервале нет.

2. Интервал 2: -2 ≤ x < 3

В этом интервале x + 2 не отрицательно, а x - 3 отрицательно:

• |x + 2| = x + 2
• |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3

Подставим эти выражения в уравнение:

x + 2 - (-x + 3) = 2x - 1

Упростим:

x + 2 + x - 3 = 2x - 1

2x - 1 = 2x - 1

Это тождество верно для всех x в этом интервале. Таким образом, все значения x в интервале -2 ≤ x < 3 являются решениями.

3. Интервал 3: x ≥ 3

В этом интервале оба выражения внутри абсолютных значений не отрицательны:

• |x + 2| = x + 2
• |x - 3| = x - 3

Подставим эти выражения в уравнение:

x + 2 - (x - 3) = 2x - 1

Упростим:

x + 2 - x + 3 = 2x - 1

5 = 2x - 1

Теперь решим это уравнение:

5 + 1 = 2x

6 = 2x

x = 3

Это значение x = 3 принадлежит интервалу x ≥ 3, поэтому оно также является решением.

Итак, окончательные решения уравнения:

• Все значения x в интервале -2 ≤ x < 3
• x = 3

Таким образом, решение уравнения |x + 2| - |x - 3| = 2x - 1: x ≥ -2.