Как найти решения системы уравнений: x^2 + y^2 = 25 и xy = 12?

Алгебра 9 класс Системы уравнений решения системы уравнений x^2 + y^2 = 25 xy = 12 алгебра 9 класс методы решения уравнений система уравнений алгебраические уравнения математические задачи Новый

Для решения системы уравнений:

• x^2 + y^2 = 25
• xy = 12

мы будем использовать метод подстановки и свойства алгебраических выражений.

Шаг 1: Выразим одно из переменных через другую из второго уравнения.

Из уравнения xy = 12 можем выразить y:

y = 12/x

Шаг 2: Подставим выражение для y в первое уравнение.

Теперь подставим y в первое уравнение:

x^2 + (12/x)^2 = 25

Шаг 3: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

x^2 + 144/x^2 = 25

Умножим обе стороны уравнения на x^2, чтобы избавиться от дроби:

x^4 + 144 = 25x^2

Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду.

Переносим все члены в одну сторону:

x^4 - 25x^2 + 144 = 0

Шаг 5: Обозначим z = x^2. Тогда уравнение примет вид:

z^2 - 25z + 144 = 0

Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта.

Дискриминант D рассчитывается по формуле:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -25, c = 144.

D = (-25)^2 - 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49.

Шаг 7: Найдем корни уравнения.

Корни находятся по формуле:

z1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

z1,2 = (25 ± √49) / 2 = (25 ± 7) / 2.

Таким образом, получаем:

• z1 = (32) / 2 = 16
• z2 = (18) / 2 = 9

Шаг 8: Восстанавливаем значения x.

Теперь возвращаемся к переменной x:

• Если z1 = 16, то x^2 = 16, следовательно, x = ±4.
• Если z2 = 9, то x^2 = 9, следовательно, x = ±3.

Шаг 9: Находим соответствующие значения y.

Теперь подставим найденные значения x в уравнение y = 12/x:

• Если x = 4, то y = 12/4 = 3.
• Если x = -4, то y = 12/(-4) = -3.
• Если x = 3, то y = 12/3 = 4.
• Если x = -3, то y = 12/(-3) = -4.

Шаг 10: Записываем все решения системы.

Таким образом, мы получили следующие пары (x, y):

• (4, 3)
• (-4, -3)
• (3, 4)
• (-3, -4)

Это и есть все решения данной системы уравнений.