Как найти значение (корень из 3-i) в степени 17?

Алгебра 9 класс Комплексные числа значение корень из 3-i степень 17 алгебра 9 класс комплексные числа вычисления алгебра Новый

Чтобы найти значение (корень из 3 - i) в степени 17, мы можем использовать полярную форму комплексных чисел. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование комплексного числа в полярную форму

Комплексное число z = x + yi, где x = корень из 3, а y = -1. Сначала найдем модуль этого числа:

• Модуль z равен |z| = √(x^2 + y^2) = √((корень из 3)^2 + (-1)^2) = √(3 + 1) = √4 = 2.

Теперь найдем аргумент (угол) этого числа:

• Аргумент φ = arctan(y/x) = arctan(-1/(корень из 3)).
• Это значение соответствует углу, где x > 0 и y < 0, что находится в четвертой четверти. Угол равен -π/6, так как тангенс -1/(корень из 3) равен -√3/3.

Таким образом, в полярной форме мы можем записать:

• z = 2(cos(-π/6) + i sin(-π/6)).

Шаг 2: Применение формулы де Муарра

Теперь, когда мы имеем z в полярной форме, можем использовать формулу де Муарра для нахождения z в степени 17:

• z^n = r^n (cos(nφ) + i sin(nφ)),

где r - модуль, φ - аргумент, а n - степень. В нашем случае:

• r = 2, φ = -π/6, n = 17.

Подставим значения:

• z^17 = 2^17 (cos(17 * (-π/6)) + i sin(17 * (-π/6))).

Теперь вычислим 2^17:

• 2^17 = 131072.

Теперь вычислим угол:

• 17 * (-π/6) = -17π/6.

Чтобы привести угол к стандартному диапазону, добавим 3 * 2π (или 6π), чтобы получить положительный угол:

• -17π/6 + 6π = -17π/6 + 36π/6 = 19π/6.

Теперь найдем косинус и синус этого угла:

• cos(19π/6) = cos(π/6) = √3/2,
• sin(19π/6) = sin(π/6) = 1/2.

Шаг 3: Запись окончательного результата

Теперь подставим значения обратно в формулу:

• z^17 = 131072 (√3/2 + i * 1/2).

Умножим на 131072:

• z^17 = 131072 * √3/2 + i * 131072 * 1/2 = 65536√3 + 65536i.

Таким образом, значение (корень из 3 - i) в степени 17 равно:

65536√3 + 65536i.