Чтобы найти значения указанных интегралов, давайте рассмотрим каждый из них по отдельности. Я объясню шаги, которые необходимо выполнить для вычисления каждого интеграла.

Для нахождения этого интеграла используем правило интегрирования степенной функции:

• Интеграл от t^n dt равен (t^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа.

В нашем случае n = 2, поэтому:

• ∫(1/2)t^2 dt = (1/2) * (t^(2+1))/(2+1) + C = (1/2) * (t^3)/3 + C = (1/6)t^3 + C.

Сначала раскроем скобки:

• x^2(1 + 2x) = x^2 + 2x^3.

Теперь интегрируем каждую часть отдельно:

• ∫(x^2 + 2x^3) dx = ∫x^2 dx + ∫2x^3 dx.
• ∫x^2 dx = (x^(2+1))/(2+1) + C1 = (1/3)x^3 + C1.
• ∫2x^3 dx = 2 * (x^(3+1))/(3+1) + C2 = (1/2)x^4 + C2.

Таким образом, общий интеграл будет:

• ∫x^2(1 + 2x) dx = (1/3)x^3 + (1/2)x^4 + C.

Запишем корень как степень:

• ∫x^(2/3) dx.

Теперь применим правило интегрирования:

• ∫x^(2/3) dx = (x^(2/3 + 1))/(2/3 + 1) + C = (x^(5/3))/(5/3) + C = (3/5)x^(5/3) + C.

Сначала упростим выражение:

• x / (2√x) = (1/2)x^(1/2).

Теперь интегрируем:

• ∫(1/2)x^(1/2) dx = (1/2) * (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = (1/2) * (x^(3/2))/(3/2) + C = (1/3)x^(3/2) + C.

Сначала упростим выражение:

• ^3√x^2/√x = x^(2/3)/x^(1/2) = x^(2/3 - 1/2) = x^(1/6).

Теперь у нас есть:

• ∫(x - x^(1/6)) dx = ∫x dx - ∫x^(1/6) dx.

Интегрируем каждую часть:

• ∫x dx = (1/2)x^2 + C1.
• ∫x^(1/6) dx = (x^(1/6 + 1))/(1/6 + 1) + C2 = (x^(7/6))/(7/6) + C2 = (6/7)x^(7/6) + C2.

Таким образом, общий интеграл:

• ∫(x - ^3√x^2/√x) dx = (1/2)x^2 - (6/7)x^(7/6) + C.

Разделим интеграл на две части:

• ∫(1 + cosx) dx = ∫1 dx + ∫cosx dx.

Теперь интегрируем каждую часть:

• ∫1 dx = x + C1.
• ∫cosx dx = sinx + C2.

Таким образом, общий интеграл:

• ∫(1 + cosx) dx = x + sinx + C.

На этом все! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими интегралами, не стесняйтесь спрашивать!