Как провести интегрирование выражения (3x + 8 * корень из x в квадрате - 1) по dx?

Алгебра 9 класс Интегрирование интегрирование алгебра 9 класс выражение dx корень из x математический анализ интеграл

Для интегрирования выражения (3x + 8 * корень из (x в квадрате - 1)) по dx, нам нужно разбить его на две части и интегрировать каждую из них по отдельности.

Итак, у нас есть выражение:

3x + 8 * корень из (x в квадрате - 1)

Мы можем записать его как:

∫(3x + 8 * √(x² - 1)) dx

Теперь давайте интегрируем каждую часть.

1. Интегрирование первой части: ∫3x dx

Для интегрирования 3x мы используем правило интегрирования степенной функции:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = 1, поэтому:

∫3x dx = 3 * (x^(1+1))/(1+1) = 3 * (x²/2) = (3/2)x².

2. Интегрирование второй части: ∫8 * √(x² - 1) dx

Здесь мы используем замену переменной. Пусть:

u = x² - 1, тогда du/dx = 2x, или du = 2x dx, следовательно, dx = du/(2x).

Также, x = √(u + 1), поэтому √(x² - 1) = √u.

Теперь подставляем это в интеграл:

∫8 * √(x² - 1) dx = ∫8 * √u * (du/(2√(u + 1))) = 4 ∫√u du.

Теперь интегрируем √u:

∫√u du = ∫u^(1/2) du = (u^(3/2))/(3/2) = (2/3)u^(3/2).

Подставляем обратно u = x² - 1:

4 * (2/3)((x² - 1)^(3/2)) = (8/3)((x² - 1)^(3/2)).

Теперь мы можем собрать все части вместе:

∫(3x + 8 * √(x² - 1)) dx = (3/2)x² + (8/3)((x² - 1)^(3/2)) + C

Где C - это произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

(3/2)x² + (8/3)((x² - 1)^(3/2)) + C

Для интегрирования выражения (3x + 8 * корень из (x^2 - 1)) по dx, мы будем следовать определённым шагам. Давайте разберем это поэтапно.

Шаг 1: Упрощение выражения

Первое, что нужно сделать, это записать корень более формально:

• Корень из (x^2 - 1) можно записать как (x^2 - 1)^(1/2).

Таким образом, наше выражение становится:

(3x + 8 * (x^2 - 1)^(1/2))

Шаг 2: Разделение интеграла

Интеграл от суммы можно разбить на сумму интегралов:

∫(3x + 8 * (x^2 - 1)^(1/2)) dx = ∫3x dx + ∫8 * (x^2 - 1)^(1/2) dx

Шаг 3: Интегрирование первого слагаемого

Теперь найдем интеграл первого слагаемого:

• ∫3x dx = (3/2)x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Интегрирование второго слагаемого

Теперь перейдем ко второму слагаемому:

∫8 * (x^2 - 1)^(1/2) dx

Для этого интеграла можно использовать подстановку. Пусть:

• u = x^2 - 1, тогда du/dx = 2x, или du = 2x dx, следовательно, dx = du/(2x).

Теперь заменим переменные в интеграле:

∫8 * (x^2 - 1)^(1/2) dx = ∫8 * (u)^(1/2) * (du/(2x))

Здесь нужно выразить x через u:

• x = √(u + 1).

Теперь подставим это в интеграл:

∫8 * (u)^(1/2) * (du/(2√(u + 1)))

Этот интеграл можно решить, но он может потребовать дополнительных преобразований и методов интегрирования, таких как интегрирование по частям или тригонометрическая подстановка.

Шаг 5: Суммирование результатов

После нахождения обоих интегралов, мы можем записать общий результат:

∫(3x + 8 * (x^2 - 1)^(1/2)) dx = (3/2)x^2 + ∫8 * (x^2 - 1)^(1/2) dx + C, где C - общая постоянная интегрирования.

Таким образом, интегрирование данного выражения требует применения методов подстановки и, возможно, интегрирования по частям для окончательного решения второго слагаемого.