Как определить все значения a, при которых уравнение |x-a|-|2x+2|=3 имеет только одно решение?

Алгебра 9 класс Уравнения с модулями уравнение алгебра значения a одно решение модуль x 9 класс Новый

Чтобы найти все значения a, при которых уравнение |x-a| - |2x+2| = 3 имеет только одно решение, давайте разберем это уравнение поэтапно.

1. **Определим точки разбиения для модулей.**

• Первый модуль |x - a| разрывается в точке x = a.
• Второй модуль |2x + 2| разрывается в точке x = -1.

Таким образом, у нас есть две ключевые точки: x = a и x = -1. Эти точки разделяют числовую ось на три интервала:

• Интервал 1: x < min(a, -1)
• Интервал 2: min(a, -1) ≤ x ≤ max(a, -1)
• Интервал 3: x > max(a, -1)

2. **Рассмотрим каждый интервал по отдельности.**

**Интервал 1: x < min(a, -1)**

• Тогда |x - a| = a - x и |2x + 2| = -2x - 2.
• Подставляем в уравнение: (a - x) - (-2x - 2) = 3.
• Упрощаем: a - x + 2x + 2 = 3, что дает x = a + 2 - 3 = a - 1.
• Для этого решения, чтобы оно находилось в интервале, необходимо: a - 1 < min(a, -1).
• Это условие нужно будет проверить позже.

**Интервал 2: min(a, -1) ≤ x ≤ max(a, -1)**

• Здесь возможны два случая в зависимости от a:
• Если a ≤ -1, то |x - a| = x + |a| и |2x + 2| = -2x - 2.
• Если a > -1, то |x - a| = x - a и |2x + 2| = -2x - 2.

В каждом случае мы получим уравнение, которое нужно будет решить. Однако, чтобы уравнение имело только одно решение, необходимо, чтобы в этом интервале было одно решение.

**Интервал 3: x > max(a, -1)**

• Здесь |x - a| = x - a и |2x + 2| = 2x + 2.
• Подставляем: (x - a) - (2x + 2) = 3.
• Упрощаем: -x - a - 2 = 3, что дает x = -a - 5.
• Для этого решения, чтобы оно находилось в интервале, необходимо: -a - 5 > max(a, -1).
• Это также нужно будет проверить.

3. **Анализируем условия для единственного решения.**

• Для того чтобы уравнение имело только одно решение, необходимо, чтобы одно из решений совпадало с границей интервала, а другое решение или отсутствовало, или совпадало с другой границей.
• Таким образом, нужно проверить, когда одно из решений, например, a - 1, совпадает с min(a, -1) или max(a, -1).
• Аналогично для x = -a - 5 в интервале 3.

4. **Решаем полученные неравенства.**

На этом этапе мы можем подставить различные значения a и проверить, при каких условиях уравнение будет иметь только одно решение. Например:

• Если a = -1, то x = -1 - 1 = -2 (в первом интервале) и x = -(-1) - 5 = -4 (в третьем интервале).
• Если a = 1, то x = 1 - 1 = 0 (в первом интервале) и x = -1 - 5 = -6 (в третьем интервале).

5. **Итог.**

После проверки всех условий и неравенств мы можем определить, что уравнение |x - a| - |2x + 2| = 3 имеет только одно решение при определенных значениях a. В частности, это происходит, когда a = -1.

Таким образом, ответ: уравнение имеет только одно решение при a = -1.