Чтобы решить систему уравнений, состоящую из одного квадратного уравнения и одного линейного, мы можем воспользоваться подстановкой. Давайте рассмотрим оба уравнения:

• Первое уравнение: х^2 + 3У^2 - 4х - 5у - 8 = 0
• Второе уравнение: х - у + 1 = 0

Сначала выразим одну переменную через другую из линейного уравнения. Из второго уравнения можно выразить х:

х = у - 1

Теперь подставим это значение х в первое уравнение:

((у - 1)^2) + 3У^2 - 4(у - 1) - 5у - 8 = 0

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

1. Раскрываем ((у - 1)^2): это будет у^2 - 2у + 1.
2. Подставляем: (у^2 - 2у + 1) + 3У^2 - 4(у - 1) - 5у - 8 = 0.
3. Теперь раскроем -4(у - 1): это будет -4у + 4.

Теперь у нас есть:

у^2 - 2у + 1 + 3У^2 - 4у + 4 - 5у - 8 = 0

Соберем все подобные члены:

• у^2 + 3У^2 = 4У^2
• -2у - 4у - 5у = -11у
• 1 + 4 - 8 = -3

Таким образом, у нас получается:

4У^2 - 11у - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = 4, b = -11, c = -3.

Подставим значения:

D = (-11)^2 - 4 * 4 * (-3) = 121 + 48 = 169

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Теперь найдем корни:

у1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставим наши значения:

у1,2 = (11 ± √169) / (2 * 4) = (11 ± 13) / 8

Теперь найдем корни:

1. у1 = (11 + 13) / 8 = 24 / 8 = 3
2. у2 = (11 - 13) / 8 = -2 / 8 = -1/4

Теперь, когда мы нашли значения у, подставим их обратно в уравнение х = у - 1 для нахождения соответствующих значений х:

1. Для у1 = 3: х1 = 3 - 1 = 2
2. Для у2 = -1/4: х2 = -1/4 - 1 = -5/4

Таким образом, у нас есть два решения системы:

• (2, 3)
• (-5/4, -1/4)

Это и есть искомые точки пересечения кривых, заданных системой уравнений.